str070 (5)

70 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Twierdzenie 4 (Rouchego). Jeżeli dwie funkcje /(z) i g(z) są holomorficzne wewnątrz i na konturze C oraz spełniają na C nierówność

(10.12)    |<?(z)|<|/(z)|,

to funkcja [/(z) + ;7 (z)] ma wewnątrz C tę samą ilość zer, co funkcja zwyższająca f(z) (każde zero liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).

Zadania przykładowe

Zadanie 10.1. Znaleźć residua funkcji /(z) w punktach osobliwych położonych w skoń-czoności:

a) /(z) =

z² + l

z—2 ’ d) /(z) = e^z+l/:,

b) /(z) =

cos z

Z — l

C)/(*)«

e) /(z) = cos —, z

(z²+l)²’

0 /(z) = e^1/ł.

z^z + l

Rozwiązanie. a)/(z) =-—. Zauważmy od razu, że punkt z₀ = 2 jest biegunem

z —2

jednokrotnym rozważanej funkcji. Przyjmijmy teraz P(z) = z² +1 oraz Q(z) = z—2. Stosując wzór (10.2'), mamy

res /(z) =    = ⁰

e'(z₀)

P(.^zo) Zq + 1    2~ + l

= 5.

Następnie wyliczamy residut pując analogicznie, mamy

res_ZJ/(z) = lira

Z~* ~

= lim

Z-* "

2

~8?

d) /(z) = e^I+,/i. Funkcja obliczenia residuum w tyr 0<|z|<oo na szereg Lauren

/(z) = *

Wymnażając szeregi występ otrzymujemy, że wspólczym

<*)

cos z

b) /(z) =--7. Punkt z₀ = i jest biegunem jednokrotnym danej funkcji. Przyjmując

z — i

P(z) — cos z oraz Q(z) = (z—i), stosujemy wzór (10.2'). Mamy wtedy

Zgodnie ze wzorem (10.1)

^e) /O) = cos-. Rozwi z

0<|z|<oo

P(z₀) cos i

^res.,/⁽z) = __-r,_cosi,_{ł(e +}

7>

Z”

^c) f(^z) ~}—2—rTz- Funkcja nasza ma dwa bieguny dwukrotne z, = /, z₂ = —i, (z +1)

bo są to zera dwukrotne funkcji Q(z) — (z² +1)². Wyliczamy najpierw residuum funkcji /(z) w biegunie dwukrotnym z_t = t. Stosując wzór (10.3) dla k — 2, otrzymujemy

"^s-'^m=!™£^[(2“^Zi)V(z)I - S!s[⁽'^_0l(?Ti?]"

= lim £ f(z - i)² -j-,1 = lim — [-i-,-l =

-_-.idz[_    (z-i) (z + 0 J    dz|_(z+i)²J

+ 2zi +2i- i +2i²    -2

= lim,    ,    , _

.t~i(z + i)    0-H)    (20

8i²

4 i

4 *

cc

Z rozwinięcia tego wynika funkcji i że residuum tej 1 f) /(z) = e^]/I. Rozwija; mamy

fi

Z rozwinięcia tego wynika i że residuum tej funkcji

Zadanie 10.2. Znaleźć f zdz

a) 1--r-j-, gdzie

J }—sm z c

C e^zdz

^b> ^sd2“