MATEMATYKA133

256 V. Całka oznaczona

f(x)Sg(x) dla x«a,b>

dla x,e(x,.„x,),i = l,2.....n

U

f(x,)Ax, Sg(x,)Ax,, x, e(x, ,,x_i), i = 1,2.....n

II

^f(x,)Ax,s2]g(x,)Ax₁,

l«1    I-I

JJ

lim f(x,)Ax₁ £ lim

n-*«o    a »•*

«.-M) »■>    »_B-»0 •='

U

b    b

Jf(x)dx<Jg(x)dx.    n

a    a

PRZYKŁAD 2.2 a) Na podstawie własności (9) oszacujemy całkę

2/3 _

JVl + 9x‘⁴dx.

o

Funkcja podcałkowa jest rosnąca na przedziale całkowania, gdyż jej pochodna (VT+9x ')' = 18x'/Vl+9x⁴ jest dodatnia na tym przedziale Ponieważ f(0) = I, f(2/3) = 5/3, więc 1 £f(x)£5/3 dla xe<0,2/3 >

V» _ 2/3

oraz 1(|-0)S j Vl + 9x‘dx£|(|-0), stąd 0,6feJVl+9x⁴dx<;l,12

0    O

b)    Funkcja x^r,sin'x jest nieparzysta, dlatego bez żadnych rachunków, zgodnie z własnością (II), mamy

3n

J x⁶ sin ’ xdx = 0.

c)    Funkcja e^!x jest parzysta, dlatego

111

J e^iX|dx = 2 Je ^x|dx = 2 J e^xdx=2e^x[=2(e-1).    ■

-10 0

Całkowanie przez podstawienie i przez

CZĘŚCI Poznamy leraz odpowiedniki twierdzeń o całkowaniu przez podstaw ienie i całkowaniu przez części dla całki nieoznaczonej

TWIERDZENIE 2.2 (o całkowaniu przez podstawienie dla całki oznaczonej) Jeżeli:

1)    funkcja g(t) jest ciągła na przedziale <a,P >,

2)    funkcja t = h(x) jest klasy C' na przedziale < a,b >,

3)    funkcja h odwzorowuje przedział < a,b > na przedział <a,p> i przy tym h(a)=a, h(b)=p, to

b    P

(2.2)    Jg(h(x))h'(x)dx = Jg(t)dt

a    a

Dowód. Założenia zapewniają istnienie funkcji złożonej g(h(x)) i ciągłość, a więc i calkowalność funkcji podcałkowych po obu stronach równości (2.2). Pozostaje wykazać tę równość.

Niech więc G oznacza funkcję pierwotną funkcji g na przedziale <a,b >, zatem, na podstawie twierdzenia Newtona-Leibniza, mann’

P

(1)    Jg(t)dl=G(P)-G(o)

Ponieważ (G(h(x))' = G'(h(x))h'(x)=g((h(x))h'(x), więc G(h(x)) jest funkcją pierwotną funkcji g(h(x))h'(x) Zatem b

(2)    Jg(h(x))h’(x)dx=G(h(x)>|_s=G(h(b))-G(h(a)>=G(p)-G<a)

Z (1) i (2) wynika dowodzona równość (2.2).

\n

PRZYKŁAD 2.3 Wykorzystując ostatnie twierdzenie, obliczymy całkę

dx

(arccos2x)^: