MF dodatekA09

254 Podstawy matematyczne Aneks A

A.3. Pochodna i całka

Definicja Cauchy’ego

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x₀ granicę g i zapisujemy lim f(x) = g

x->x₀

wtedy i tylko wtedy, gdy

V 3 V 0<|x-x₀|<5=>|f(x)-g|<e    A(3.1)

e>0 5>0 xeDf

Df- dziedzina funkcji f

Funkcja f jest ciągła w punkcie x„ będącym punktem skupienia dziedziny Df wtedy i tylko wtedy, gdy lim =f(x₀).

x->x₀

Funkcja liniowa, wykładnicza i logarytmiczna są funkcjami ciągłymi w swojej dziedzinie.

Twierdzenie Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b>, f(a) *f(b) oraz liczba q jest zawarta między f(a) i f(b), to istnieje taki punkt ce (a, b), że f(c)=q.

Wniosek A.3.1

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale <a, b>, f(a) f(b)<0, to istnieje taki punkt ce(a, b), że f(c)=0.

Granicę właściwą ilorazu różnicowego, gdy Ax->0, nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x₀ i oznaczamy symbolem f (x₀).

f'(x„)^di lim ^v Ax^O    Ax

A(3.2)