str020

57.    Przypuśćmy, że istnieje miara zewnętrzna u' taka, że p = z^*|01. gdzie 91 jest rr-cialem zbiorów i/'-mierzalnych. Z równości p = i/’|91 wynika, że OT = 91. Z monotoniczności miary zewnętrznej v‘ wynika, że

4) _ / card(>l),    gdy A jest skończony,

*    \ oo,    gdy A jest nieskończony.

Otrzymaliśmy więc, że u' jest miarą określoną na c-ciele 91 = 2*. To daje nam sprzeczność z równością OT = 91.    _/

58.    Niech dla dowolnego A C X

		' o,	gdy A = 0,
	P*(A) = <	1,	gdy 0 £ A £ X
		.2-	gdy A = A'.
Wówczas	^(-4)	•{i	gdy A = 0, gdy A jć 0.
A zatem p’ ^ pj.

59.    Wskazówka: patrz rozwiązanie zadania 55 (e).

60.    Wskazówka: korzystamy z zadania 55 (b) i (e).

61.    Odpowiedź: jeżeli card( A) = 1 w zadaniu 7, card(A') < 2 w zadaniu 8, to p" są metrycznymi miarami zewnętrznymi, bo p* są miarami. W pozostałych przypadkach miary zewnętrzne nie są metryczne.

62.    Niech Ei, E₂ C X i p(Ei,E₂) > 0. Na podstawie założenia i zadania 45

istnieją takie zbiory mierzalne Aj, Aj, że Aj C Ei. Aa C E₂ i ^{=    oraz}

p(A₂) = p.(E₂). Oczywiście A\ O Aj = 0 i Al U Aa C Ei U En.

p.(E_t U E₂) > p(A_ł U Aa) = p(Ai) + p(A₂) = p.(£i) + M^z)-Ponieważ p* jest metryczna, więc

p*(Ei U E₂) = p‘(Ei) + p*(Ea).

u*[Ei U E-i) “

p*(Ei U E₂) + p.(Ei U Ea)

H’(E\) + p'(Ea)    p.(gi)Ap.(^z) _

- 2 2

Na podstawie zadania 48, i/* jest miarą zewnętrzną, więc

i/*(Ei UE₃) < i/*(Et) + v’(E₂).

Zatem i/*(E,UE₂) = i/*(El) + i/*(E₂), a zatem v' jest metryczną miarą zewnętrzną.

63. Z definicji zbiorów A„ wynika, że ,4_n C A_n+i dla dowolnego n 6 N. Niech (J”_, A„ = Ao- Istnieje więc lim_n_co p'(A_n) i spełniona jest nierówność lim,_₀₀ p’(.4„) < /i'(.4o). Wystarczy wykazać, że

/»■(*>) < lim p*(A„).

n — co

Zachodzą następujące równości:

OO    CO    CO

Ao = A_2n U 0) Bk = A_2n U 0) Bit U 0 Bit+i,

Jt=2n    Jcsn    lr=n

przy czym B_n = A„+i - A_n dla dowolnego n e M. Stąd otrzymujemy

OO    CO

f(Aa) < M*Ma») + E/*'(*») + E /»*(* 2Ł + 1 )•

JL’=n

Jeżeli

< +co

fc=l

E/<*(w < °°-

t=i

to

M*(Ao) < lim /i’(A_2n) = lim p'(A_n).

Przypuśćmy teraz, że    p*(B₂t) = +oo. Z definicji zbiorów A„ wynika, że

p(B₂*. Bit+i) > 0 dla /: 6 N, gdzie p(Bjk, Bat+i) = inf{p(x,y) : x € B₂k, y S B₂ł+i}. Łatwo wykazać, że (J"~j B₂t C A₂t dla n > 1. Korzystając z założenia, że /<* jest metryczna, otrzymujemy

■i-i

n—l

t=i

t=i

Ponieważ 5Z“_=l ju’(B₂k) = +oo, więc linin-oc/i^An) = +oo. Stąd otrzymujemy, że p'tAo) < limn—co p”(A„). Analogicznie dowodzimy tej nierówności w przypadku,

g<iy

OO

E^^ł+i) = +oo. t=i

64. Udowodnimy najpierw, że każdy zbiór domknięty jest mierzalny. Niech F oznacza zbiór domknięty, A dowolny podzbiór X. Wówczas A - F C X - F i X -F jest zbiorem otwartym. Na podstawie zadania 63 istnieje ciąg zbiorów {A_n}neit taki, że p(A„, F) > i dla n € N i

lim /T(A„) = S(A-F).

n—oo    '