85516 wyznaczniki,macierze (6)

32 Elementy algebry liniowej

32 Elementy algebry liniowej

2 k	3 2k-2	, A =	2 k	3 k + 2	4~ 8
k + 2	9		k + 2	9	3k

Układ równań jest rozwiązalny wtedy i tylko wtedy, gdy

rzA = rzA.

Zauważmy, że

0 < rzA < 2, rzA < rzA < 3 .

Aby zachodziła równość rzędów macierzy A i A, musi zachodzić warunek

det A = 0.

	2 ■	3	4
det A =	k	k + 2	8
	k + 2	9	3k

= 6k(2k - 2) + 36k +

+ 24(k + 2) - 4(k + 2)(2k - 2) -144 - 9k² = -5(k² - 8k +16) = -5(k - 4)². det A = 0 <=> k = 4.

Wobec tego dla wartości parametru k=4 układ równań jest rozwiązalny. Wstawiamy do układu równań wartość k=4. Otrzymujemy

2xj+3x₂= 4 4x, +6x₂ = 8 .

6x, + 9x₂ =12

Zauważmy, że rzA = rzA = 1.

Liczba niewiadomych n=2. Na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelli układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru. Przyjmujemy jedną ze zmiennych jako parametr, np.

x, = t, teR.

2t + 3x₂ =4 .

Wówczas pozostawiając jedno równanie, np. równanie pierwsze otrzymujemy Stąd

teR.

4 2

:---1,

3    3

Wobec tego otrzymujemy odpowiedź. 2

Odp. x_l = t, x₂ =—(2 — t), teR.

A