badania1

1. Wybrane zagadnienia programowania liniowego

pozostają bez zmian, a zmieniają się jedynie wartości wyrazów wolnych. -W zależności od sytuacji (F—>max bądź F—>min) wartości wyrazu wolnego należy zwiększać lub zmniejszać. Punktem najdalej wysuniętym na odcinku OA w sensie równoległego przesunięcia jest zatem punkt A. Współrzędne¹ tego punktu = 3000 oraz jc* = 2000 są optymalnym rozwiązaniem zadania. Wartość przychodu ze sprzedaży przy uwzględnieniu optymalnego asortymentu wyniesie więc F(A-f,A-f) = 170000 zł.

Przykład 2. Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby W( i W₂. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków, spośród których dwa są limitowane. Limity te wynoszą: środek I — 36000 jedn., środek II — 50000 jedn. Nakłady limitowanych środków na jednostkę produkcji podano w tabl. 2.

Tablica 2

Środki	Jednostkowe nakłady
produkcji	W,	W,
I	6	6
II	10	5

Należy także uwzględnić, że zdolność produkcyjna jednego z agregatów nie pozwala wyprodukować więcej niż 4000 szt. wyrobu W₂ . Nie ma natomiast żadnych dodatkowych ograniczeń w stosunku do wyrobu W,.

Określić optymalne rozmiary produkcji przy założeniu, że zysk realizowany na obu wyrobach jest jednakowy. Przy rozwiązywaniu zastosować metodę geometryczną.

Rozwiązanie. Przystępując do budowy modelu, przyjmujemy oznaczenia: x₁ — wielkość produkcji wyrobów W,, x₂ — wielkość produkcji wyrobów W₂. Pierwsze dwa ograniczenia dotyczą limitów na środki produkcji I i II:

(1)    6a'j + 6a₂ < 36 000,

(2)    10jc, + 5x₂ <50000.

Warunek brzegowy dla zmiennej „v, ma postać

(3)    *,*0.‘

Warunek brzegowy dla zmiennej x₂ ze względu na ograniczenie od góry ma postać

(4)    0 < a₂ < 4000.

Kryterium optymalności tego zadania stanowi wielkość łącznego zysku osiągniętego ze sprzedaży wyrobów Wj i W₂. Ponieważ zysk jednostkowy na obu wyrobach jest jednakowy, przeto i parametry w funkcji celu powinny być jednakowe, a najprościej można przyjąć, że są równe jedności. Zatem funkcja celu jest następująca:

(5)    F(X], x₂) = jc, + x₂ —»max,

a cały model ma postać:

(1)	6x, + 6x2 ^ 36 000,
(2)	10:t,+5jc2«50000,
(3)	o' A\ H
(4)	0^*2=5 4000,
(5)	^(*1* *2) = *1 +x2 —> niax.

Również rozwiązanie tego zadania, jeżeli rozwiązanie to istnieje, ze względu na warunki (3) i (4), musi się znaleźć w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Podobnie jak w przykładzie 1 poszczególne relacje ponumerowano (rys. 3).

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest obecnie wielobokiem (obszar zacienio-wany). Przesuwając równolegle izolinię CD, stwierdzamy, iż jej najdalsze możliwe przesunięcie pokryje się z odcinkiem AB. A zatem w tym przypadku mamy nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych (rozwiązania te stanowią współrzędne wszystkich punktów odcinka AB). W szczególności rozwiązania optymalne stanowią współrzędne punktów A i B, czyli x* = 2000 szt. i x₂ = 4000 szt. lub xf = 4000

1

W punkcie tym przecinają się proste (1) i (3) (por. rys. 1), zatem aby wyznaczyć jego współrzędne, należy rozwiązać układ tych dwu równań: (1) i (3).