Politechnika Śląska

Wydział AEiI

Kierunek AiR

Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki:

Badanie szeregowego rezonansu napięciowego

Grupa I, sekcja 5

Lesław Kaczor

Andrzej Sikorski

Gliwice, 2.03.1994

1.Opis teoretyczny

Drgania elektryczne występują w układach zawierających indukcję własną i pojemność. Występują one zarówno wtedy,gdy cewka i kondensator połączone są równolegle jak i szeregowe.

Założymy,że w chwili t=0 w obwodzie płynie prąd o natężeniu I .

Na oporze R (jest to suma oporu opornika, cewki i przewodów) wystąpi spadek napięcia
. Na kondensatorze także pojawi się spadek napięcia

,gdzie
.

Natomiast na cewce pojawi się siła przeciwelektromotoryczna
.

Przyłączenie do powyższego układu zewnętrznego napięcia
oraz zastosowanie II prawa Kirchhoffa daje nam wzór :

gdzie:
,
,
.

Równanie wcześniejsze jest równaniem ruchu tłumionego.Dla drgań zachodzących w obwodzie wprowadzić możemy czas relaksacji
W czasie
amplituda drgań maleje do 1/e wartości początkowej. Po przekształceniach otrzymujemy
lub
. Wzór powyższy nazywamy wzorem Thomsona.

W przypadku drgań wymuszonych rozwiązanie równania ruchu przyjmuje postać
gdzie:
oraz

Zmieniając jeden z parametrów układu L lub C możemy uzyskać przypadek rezonansu,w którym
wtedy amplituda przyjmie wartość
Przy bardzo małym tłumieniu
zachodzi
i otrzymujemy
.

Oznacza to jak gdyby obwód nie zawierał kondensatora i cewki.Ponieważ w obwodzie istnieją opory pozorne
oraz
, napięcia na cewce i kondensatorze przyjmują wartości
oraz
zgodnie ze wzorem Thomsona zachodzi równość
.

W przypadku drgań elektrycznych często określa się również dobroć układu.Po podstawieniu
otrzymujemy
lub
.

W praktyce najczęściej dobroć określa się z krzywej rezonansu. Z wykresu przedstawiającego zależność
lub
od częstości napięcia wymuszającego .

L - cewka indukcyjna

L = 400 mH

C - kondensator

C = 60 nF

mA - miliamperomierz

VL - woltomierz

VC - woltomierz

Hz - częstościomierz

2. Opis ćwiczenia

Obwód pomiarowy został przedstawiony na schemacie :

Ćwiczenie polegało na zmontowaniu przedstawionego obwodu pomiarowego , a następnie na pomiarze natężenia prądu pobieranego przez obwód , oraz napięć na kondensatorze i cewce indukcyjnej. Pomiary były wykonywane dla różnych częstotliwości napięcia wymuszającego - od 200 do 2000 Hz , skokowo co 50 Hz. W otoczeniu częstotliwości odpowiadającej częstotliwości drgań własnych układu , pomiary były wykonywane co 25, 10 i co 5 Hz.

3.Opracowanie wyników

TABELKA POMIAROWA

C = 60 nF

L=400 mH

U0 = 4 V

Zakresy pomiarowe

woltomierz UL 200 V niepewność pomiaru U= V

woltomierz UC 200 V niepewność pomiaru U= V

miliamperomierz mA 40 mA niepewność pomiaru i= mA

częstościomierz Hz 4000 Hz niepewność pomiaru f= Hz

f [Hz]	i [mA]	Ul [V]	Uc [V]	f [Hz]	i [mA]	Ul [V]	Uc [V]
200 250 300 350 400 450 500 525 550 575 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 775 780 785 790 795 800 805 810 815 820 825 830 835 840 845 850 855 860 865 870 875 880 885 890 895 900 905 910 915 920 925 930 935 940	0.36 0.47 0.59 0.72 0.86 1.02 1.20 1.30 1.42 1.54 1.67 1.73 1.79 1.85 1.92 1.99 2.06 2.13 2.22 2.30 2.39 2.47 2.57 2.68 2.78 2.90 3.03 3.16 3.23 3.29 3.37 3.44 3.52 3.61 3.70 3.78 3.88 3.96 4.07 4.17 4.25 4.39 4.50 4.64 4.74 4.88 5.02 5.15 5.30 5.47 5.62 5.78 5.98 6.15 6.35 6.54 6.74 6.95 7.18 7.41 7.65 7.89	0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.1 1.5 1.7 1.9 2.2 2.5 2.6 2.8 2.9 3.1 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.5 4.7 5.0 5.2 5.5 5.9 6.2 6.4 6.5 6.8 6.9 7.1 7.4 7.6 7.8 8.1 8.3 8.6 8.8 9.1 9.4 9.7 10.0 10.3 10.7 11.1 11.4 11.8 12.3 12.7 13.1 13.7 14.2 14.7 15.2 15.7 16.3 17.0 17.6 18.3 18.9	5.1 5.2 5.4 5.6 5.8 6.1 6.4 6.6 6.9 7.1 7.4 7.5 7.7 7.8 8.0 8.1 8.3 8.5 8.7 8.9 9.1 9.2 9.5 9.7 10.0 10.3 10.6 10.9 11.0 11.2 11.4 11.6 11.7 11.9 12.2 12.4 12.6 12.8 13.1 13.3 13.6 13.8 14.1 14.4 14.7 15.0 15.4 15.7 16.0 16.5 16.8 17.2 17.7 18.1 18.5 19.0 19.5 20.0 20.5 21.1 21.6 22.2	945 950 955 960 965 970 975 980 985 990 995 1000 1006 1010 1016 1022 1033 1038 1046 1055 1060 1068 1077 1084 1090 1096 1101 1108 1114 1122 1129 1138 1144 1150 1158 1164 1170 1175 1180 1199 1221 1240 1260 1280 1305 1322 1346 1358 1380 1399 1422 1441 1464 1502 1556 1600 1645 1700 1754 1806 1860 1899 1958 1997	8.19 8.44 8.69 8.98 9.24 9.54 9.81 10.11 10.39 10.61 10.84 11.05 11.27 11.35 11.50 11.57 11.55 11.50 11.36 11.05 10.89 10.53 10.12 9.79 9.48 9.23 8.97 8.66 8.38 7.98 7.72 7.37 7.12 6.94 6.66 6.46 6.31 6.13 6.01 5.53 5.05 4.70 4.38 4.11 3.80 3.61 3.39 3.29 3.12 2.98 2.83 2.72 2.60 2.42 2.21 2.06 1.93 1.80 1.68 1.58 1.49 1.44 1.39 1.31	19.8 20.5 21.2 22.0 22.8 23.6 24.4 25.3 26.1 26.8 27.5 28.2 28.9 29.2 29.8 30.2 30.4 30.4 30.2 29.7 29.4 28.6 27.7 27.0 26.3 25.7 25.1 24.4 23.7 22.8 22.2 21.3 20.7 20.3 19.6 19.1 18.7 18.3 18.0 16.9 15.7 14.8 14.0 13.4 12.6 12.1 11.6 11.3 10.9 10.6 10.2 10.0 9.7 9.2 8.7 8.4 8.1 7.8 7.5 7.3 7.1 7.0 6.8 6.7	22.9 23.5 24.1 24.7 25.3 26.0 26.6 27.2 27.9 28.3 28.8 29.2 29.6 29.7 29.9 29.9 29.5 29.3 28.7 27.7 27.2 26.0 24.8 23.8 22.9 22.2 21.2 20.6 19.9 18.7 18.0 17.1 16.4 15.9 15.1 14.6 14.2 13.7 13.4 12.2 10.9 10.0 9.1 8.4 7.6 7.2 6.6 6.3 5.9 5.6 5.2 4.9 4.6 4.2 3.7 3.3 3.0 2.7 2.4 2.2 2.0 1.9 1.7 1.6

Wykresy i(f), Ul(f),Uc(f)

i(f)

4.Opracowanie wyników pomiarów

OBLICZENIA REZYSTANCJI I DOBROCI UKŁADU REZONANSOWEGO

Uwzględniając maksymalny błąd odczytu prądu płynącego w obwodzie, rezonans zachodzi w przedziale częstotliwości : 1016-1038 Hz.

Ze wzoru :
mamy :f=1027 Hz. Więc otrzymany wynik zgadza się z teorią.

Rezystancja badanego układu rezonansowego wynosi :

niepewność pomiaru :

Dobroć układu, wyliczona przy pomocy wzoru analitycznego wynosi:

niepewność wyliczenia ze wzoru wynosi :

Dobroć układu, wyliczona metodą szerokości połówkowej wynosi :

niepewność pomiarowa :

Jako
została przyjęta połowa działki wykresu i=i(f) czyli 20 Hz

5.Podsumowanie

Wykonano 126 pomiarów [ i , UL , UC ] dla częstotliwości napięcia wymuszającego zmieniającej się skokowo w przedziale 200 - 2000 Hz

Niepewność wypadkowa poszczególnych pomiarów wynosi :

pomiar częstotliwości : 3 Hz

pomiar napięcia 0.3 V

pomiar natężenia prądu 0.03 mA

Częstotliwość rezonansowa układu wynosi fr = 1022 Hz

Poziom napięcia wymuszającego wynosi 4V

Wyliczona rezystancja obwodu rezonansowego wynosi :

R = 345W R = 26.8

Dobroć obwodu wyliczona metodą szerokości połówkowej wynosi :

Q = 5.67 Q = 0.74

Dobroć obwodu wyliczona ze wzoru analitycznego wynosi :

Q = 7.46 Q = 0.57

Jak widać , dobroć obwodu wyliczona metodą analityczną różni się od dobroci wyznaczonej na podstawie pomiarów, a różnica ta przekracza zakres obliczonych błędów pomiarowych. Na mniejszą, w stosunku do wyliczeń analitycznych, dobroć układu mogły wpłynąć nie uwzględnione w rachunkach pojemności i indukcyjności pasożytnicze powstałe na skutek podłączenia mostka LC do obwodu pomiarowego za pomocą przewodów , oraz różnice pomiędzy wartościami wskazywanymi przez mostek, a faktycznymi wartościami pojemności i indukcyjności .

Zależności prądu oraz napięć na kondensatorze i cewce indukcyjnej zostały przedstawione na wykresach . Można zauważyć , że krzywa przedstawiająca UC = U(f) wyraźnie przypomina krzywą UL = U(f) odbitą symetrycznie względem prostej f = fr , gdzie fr - częstotliwość rezonansowa układu.

Szerokość połówkową odczytano z rysunku przedstawiającego zależność i = i(f). Rysunek ten posiada podziałkę wyraźniejszą niż drugi wykres, dzięki czemu można było dokładniej określić szerokość połówkową.

---