I Wstęp

Jeżeli do ciała przyłożymy ścinającą siłę styczną to nastąpi tzw. odkształcenie przesunięcia prostego (czyli ścinanie) , a właśnie z nim związany jest moduł sztywności t , którego wyznaczenie jest istotą tego ćwiczenia.

Prawo Hooke'a - naprężenie wewnętrzne ciała sprężyście odkształconego jest proporcjonalne do względnego odkształcenia:

Y = n p_t

gdzie : Y - odkształcenie względne

p_t - naprężenie styczne

n - wielkość stała, zależna od rodzaju materiału nazywana współczynnikiem przesunięcia prostego.

Wielkość t = nazwano modułem sztywności.

Po podstawieniu otrzymujemy :

t Y = p_t

Wzór ten można uważać za równanie definicyjne modułu sztywności.

Inny rodzaj odkształcenia to tzw. skręcenie. Przypuśćmy, że górny koniec prętu jest nieruchomy.Przy skręceniu pręta o kąt ϕ, spowodowany przyłożeniem zewnętrznego momentu siły M'do dolnego końca prętu , pojawia się równy co do wartości M' , ale przeciwnie skierowany wewnętrzny moment siły M ( M = - M').

Obciążamy dolny koniec prętu ciałem, który ma kształt symetryczny względem osi OO' pręta. W wyniku tego eksperymentu swobodny ruch tego ciała w płaszczyźnie prostopadłej do wspólnej osi symetrii ciała i pręta jest wyrażony zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, wzorem :

M = I ϕ

I - moment bezwładności ciała względem osi symetrii

Biorąc pod uwagę, że :

M = - M' = - D ϕ

I_s

gdzie: D - moduł skręcenia pręta; D = t _

l

Otrzymujemy równanie ruchu drgającego prostego:

.. D D I

ϕ + _ ϕ = 0 , o częstości w = _ , czyli okresie drgań T = 2 P _

I I D

Wyznaczenie modułu sztywności t metodą dynamiczną Gaussa polega na pomiarze okresów drgań:

wibratora nieobciążonego:

I

T₁ = 2 P _

D

oraz wibratora obciążonego:

I +I_o

T₂ = 2 P __

D

Moduł sztywności otrzymujemy z równania:

l* I_o

t = 4 P ² ______

I_s ( T₂ - T₁)

P* d⁴

gdzie: I_s - moment bezwładności pręta o średnicy d ; I_s = ___

32

1

I_o - moment bezwładności obręczy ; I_o = _ m ( D₁ + D₂ )

8

m - masa obręczy,

D₁,D₂ - średnice: wew. i zew. obręczy.

II Obliczenia

Wartość t znajdujemy ze wzoru:

m* l D₁ + D₂

t = 16* P* __ * ____

d⁴ T₂ - T₁

Dla pierwszego układu (grubszy pręt):

m =1,32 * 0,005 kg

l = 0,889 m

d = 1,173* 10^-3 m

D₁ = 259,63* 10^-3 m

D₂ = 297,3* 10^-3 m

T₁ = 3,7 s

T₂ = 8,25 s

1,32* 0,889 ( 259,36* 10^-3 )² + (297,3* 10^-3 )² N

t = 16* P* _______* _____________ = 8,926* 10¹⁰ _

( 1,173*10^-3 )⁴ ( 8,25 )² - ( 3,7 )² m²

Dla drugiego układu (cieńszy pręt):

m = 0,67 * 0,005 kg

l = 0,91 m

d = 0,623* 10^-3 m

D₁ = 259,2 * 10^-3 m

D₂ = *295,7* 10^-3 m

T₁ = 68,5 s

T₂ = 120,7 s

0,67* 0,91 ( 259,2* 10^-3 )² + (295,7* 10^-3 )² N

t = 16* P* _______* _____________ = 3,185* 10⁹ _

( 0,623*10^-3 )⁴ ( 120,7 )² - ( 68,5 )² m²

III Analiza błędów

Błąd pomiaru wartości modułu sztywności t obliczamy jako błąd maksymalny, metodą różniczki zupełnej:

Δτ Δl Δd 1 1

_ = _ + 4 _ + 2 ___ ( D₁ΔD₁ +D₂ΔD₂ ) + ___ (T₁ΔT₁+T₂ΔT₂)

τ l d D₁²+D₂² T₂²-T₁²

gdzie :

Dd - jest potrójnym błędem standardowym wartości średniej d ,

Dl , DD₁ , DD₂, DT₁ , DT₂ - są błędami maksymalnymi wartości średnich długości pręta, średnic obręczy i okresów.

W doświadczeniu:

Δd = 5*10^-6 m Δl = 5*10^-4 m

ΔD₁ = 5*10^-5 m ΔD₂ = 5*10^-5 m

ΔT₁ = 0,1 s ΔT₂ = 0,1 s

Błąd modułu sztywności dla grubszego pręta:

Δτ

_ = 0,0616

τ

Błąd modułu sztywności dla cieńszego pręta:

Δτ

_ = 0,0218.

τ

koniec

1

---