120 121 (3)

120

Przestrzenie euklidesowe

Zatem

cos «£ (ar + b, sin z) =

— 2ra

—2 a

fŚ    /o

^V^V 3°^{2+ 4a}^^{T3 + 262} n \/ 3^{C?,r2 + 4a4r + 262}

2t

Zauważmy, że a < 0. Po prostych przekształceniach otrzymamy an + i> = 0. Przyjmując teraz np. 6=1. otrzymamy a =--. Szukanym wielomianem jest zatem p(x) = 1 — —

• Przykład* 12.6

Stosując nierówność Schwarza w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych sadnić nierówności:

aj (a*' + b^Ą -f- c⁶) ^ (l -f b² 4- c⁴) (a⁴ -f 6⁶ + c⁸) dla dowolnych a,b c€ jR; b) [j f(z)g[x)dz\ ^ j f²(x)g⁷(x) dr dla dowolnych f,g € C(R).

Rozwiązanie

Dla dowolnych wektorów 5, v w przestrzeni euklidesowej E zachodzi nierówność Schwarza postaci |(u, »)! ^ |u| |t?|. Po podniesieniu obu stron tej nierówności do kwadratu otrzymujemy zależność (i, e)^J ^ |u|² |t|² .

a)    Niech i = (11,12,13), y = (yityzilfe) będą wektorami przestrzeni euklidesowej E³. Nierówność Schwarza w tej przestrzeni ma postać

(xiyi + X2y? + *aya)² < (*? + A +    (y? + y₂ + y²)

Żądaną postać wzoru otrzymujemy przyjmując z= (l,6,c²). y= (g²,6³,c⁴).

b)    W przestrzeni euklidesowej wszystkich funkcji ciągłych na odcinku (0,1], z iloczynem skalarnym określonym wzorem

1

(/:./2) = J    ii*)

o

zachodzi zw:ą2ek

(/,-/a)^a<l/il² l/z|² =

Wystarczy teraz zastosować tę nierówność do funkcji fi(x) — ,/(^z)^(*)ł /zC*) — 1-

Zadania

O Zadanie 12.1

Sprawdzić, ze podane funkcje () są iloczynami skalarnymi w rozważanych przestrzeniach liniowych:

a)    (x, y) = 2xiyi — z.yj — X2j/i + ^r2l/2 dla z — (xi,X2j y — (J/i y?) € R ;

4 -1		y:		dla x
1 i j		y2
2 0	-1 '			yi
0 1	0			y?
-l 0	1			. sfc .

dla z = (xi,x₂,x_a), y = (yi y2,y3> E R³;

b)    (x,y) = [*i *2]

c)    (x, y) = [x 1x2^3]

n-ł-l

d)    (p, 9) = ^ p (x,) 9 (z,) dla p, 9 € R_n[x], gdzie xi < X2 <    < ^rn+i

«=i

1

c) [f,g) = /(x₊l)/(2z),(2x)dx dla /, 9 € C([-2,2]).

O Zadanie 12.2

Uzasadnić dlaczego podane funkcje (*,* ) nic są iloczynami skalarnymi w rozważanych przestrzeniach liniowych:

aj (x, y) = 2x₁y₁ + 3xj2^ - *iy: + 5*292 dla z = (xi,x₂), y = (yi.lfe) 6 R²;

	‘ 1	2 -1 ‘		yi
b) (5, y) = |xix2x3]	1 3	4    -1 5    ^1 .		V2 . V3 .

c) (P, 9) = P(f)9[l) “ P(²)9(²) dla    ^ 1

X = (X1.X2.X3; ,

R'

y = (y1.y2.y3) €

d)    (p, 9) = ^ p(x₅) 9 (z,) dla p, 9 € Rr;[x]. gdzie x, < r₂ <    < x„;

»=l

Ł

e)    (/, y) = J l/(x)y(x)|dx dla/, 9 E C([a»);

a

1

0 (/.S) = Jrfr dla /, s € C([—1,1]).

-1

O Zadanie 12.3

W przestrzeni euklidesowej E^A

a)    obliczyć normę wektora (—1,1,2,—3);

b)    zbadać ortogonalność wektorów (1,4,—1,2), (3,—1,2,—1);

c)    obliczyć kąt między wektorami (1,3,0, —1), (3,1,1.0);

d)    opisać zbiór wszystkich wektorów ortogonalnych do każdego z wektorów (2_; 1.0,1), (0, -2. 1, 1) i wskazać jeden wektor z tego zbioru o normie równej 2;

e)    podać przykład wektora unormowanego tworzącego z wektorem

(1,2, 0,-2) kąt J.

O Zadanie 12.4

Obliczyć kąt, jaki tworzą wektory p₀ = x + 1 , 9c = x — 2 w przestrzeni cuklide-