28

183/

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

f—• =|x~~-1 =r lx'dx= 2ldl x⁵=/²+l| = ^ \~TT~\=-^orcigt=-arctgJxⁱ-\+C

^ ąr +lj 3    3

XV

184/

I

dx

l+tgx

lgx = l dl

dl

i+r

= dx

- fl±ii - f ^dt _ /

' 1+/    J(l+/)(l+r^j)

Pomocniczo należy rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste: 1    A Bi + C _ i¹(a + B)+i{B + C)+A + C

(l+/Xl+/²) l + f ⁺ 1 + f² (l + /Xl + t²)

A + B	= 0
B + C	= 0
A + C	= 1
	£*	1
2i	1+t	2

/ł = -0

a-i

2

c4

x 1

= —i— lnlcos x + sin x| + C 2 2 ^{1 1}

185/

rsin 2x , r2sinxcosxe£r

I—5-*= I-i-

^JCOS X ^J COS X

186/

= ²J

x+ln

sinx

cos⁵ x

-dx =

l+/gr

^+tg²>

=—In

2

cosx+sinx

cosx

'cos²x+sin^:x

+-+C

cos x = t - sin xdx = dl

cos"x

„ rdt I _    1

= -2j— = -+C =-r- + C

^Jr r

cos’ x

fln(cosx)d!x _

J ci-*²

sin x

u = !n(cos x) du = - -^Sm— dx cosx dx

dv = -

v = -ctgx

= -ctgx ln|cos x| - jćir = -cigx ln|cos x| - x+C

187/

jVl-sinx«atx =	f>/(l-smxXl+sinx)	r7l-sin^3xrf_	r cosxdx	sinx = r
	J 71 +sin x	■* Vl+sinx	' 7l + sinx	cos x<ix =

= J^== =    ⁼ J^z ^ = ^2z^^+c=²Vz+C=2VT+7 + C = 2Vr+sin7 + C

8BI    / .    \    ?vWv

« = ln(jr +1)    =

X* +1

J_

2.v³

.v⁵

ln(x^: + l) r 2xdx ^3    + ^2x³(.v³ + l)~

Do obliczenia całki wykorzystano rozkład funkcji wymiernej:

1 A _| Bx + C x²(a+ B)+Cx+ A 1 x x[x² +1) X x² +1    x(x² + l)    X x² + l

189/

f~2x—-=a‘=t a^2x=r a‘\nadx=dt a^xdx = -^~ =-^—[-^— = -^—arctghi‘)+C ^a +1    Ina lna'^+1 Ina ' '

190/

■j* = t² ~j= = 2rdj = 2 J(l -sinr')hdi = 4 jrdr- 4 J/ sin/²dr = 2/² -

rl-sin7x ,

J-t=—dx=

fx

/²=_-

2rdt = dz

’    I    UUl

= 2r - Jsin rot = 2(/^: + cos z)= 2(7* + cos i²)+ C = l4x + 2 cos V* + C 191/

7~⁺    = |x +1 = /² x-1 = t² - 2 dx=2tdt\= fV(* ^{+ l})    = f3^L

(^X-^!> ^{1 J J}'²-

k^2t2 + ⁴ + -r-=)dt =    + 4/ + 8    = /

^J    r-2    3    ^J/² -2

8    = 2V2- 2-71 J-Ąy = 272 4 - 73 - 272 tal* + 73 = 272 In

/-V2    / + V2    ¹ I    II    7x+1 + V2

+r

7*77-72

7jr+i+72

+c

-55-