28235 str223

§ 3. RÓWNANIE LAPLACE’A 223

gdzie A(x, y, z) są punktami obszaru Q (patrz rys. 4.5), B(£, t], Q są punktami leżącymi na powierzchni 5 ograniczającej obszar Q, r = \AB\, p jest funkcją określoną na powierzchni S i nosi nazwę gęstości powierzchniowej ładunku.

Definicja 6. Potencjałem warstwy podwójnej nazywamy następującą funkcję:

s

(3.10)

gdzie y jest kątem zawartym między normalną poprowadzoną do powierzchni S w punkcie /?(£, n, Q i odcinkiem r = \AB\, pozostałe oznaczenia jak we wzorze (3.9).

Definicja 7. Potencjałem ładunku przestrzennego nazywamy następującą funkcję:

v

(3.11)

gdzie A(x, y, z) są punktami obszaru Q (patrz rys. 4.6), C(£, t], Q są punktami obszaru V, r = \AC\, Q jest funkcją określoną w obszarze V i nosi nazwę gęstości objętościowej ładunku, obszary Q i V nie mają części wspólnej.

Rys. 4.5

Rys. 4.6

Definicja 8. Potencjałem ładunku liniowego nazywamy następującą funkcję:

L

(3.12)

gdzie A(x, y, z) są punktami obszaru S2 (patrz rys. 4.6), D(£, t], Q są punktami położonymi na łuku L, przy czym łuk L leży na zewnątrz obszaru Q.

Własność 7. Funkcje (3.9), (3.10), (3.11) oraz (3.12) spełniają równanie Laplace’a, również każda kombinacja liniowa tych funkcji spełnia równanie Lapłace'a w obszarze Q.

Definicja 9. Funkcją Greena równania Laplace’a w obszarze przestrzennym Q ograniczonym powierzchnią gładką S nazywamy funkcję

(3.13)