str034

74

'3

Niech x 6 [0,1). Wtedy istnieje n₀ € N, że x E Qn₀■ Zatem dla'dowolnego n > n₀, * i Qn, więc x g U“„ Qi dla dowolnego n > n₀. A stąd /„(*) = 0 dla n > n₀, czyli lim_n_oo fn(x) = 0.

....    Przypuśćmy, że istnieje zbiór mierzalny E taki, że

: 0 na E

gdzie p oznacza miarę Lebesgue’a.

Zatem istnieje takie n₀ 6 M, że dla dowolnego n 6 N, n > r»o i dla dowolnego ^A'mamy f_n[x) = 0. Ale

dla reU?="o^l Qi-

dla z 6 U^r. Qi-

Arnika, że dla dowolnego n > n_Q, E C U^¹ Q_i} więc [0,1) - E D U” a SP-Ą > /‘•(U“n Qi) > f(Qn) = a, co jest sprzeczne z (1). Ipftzymaliśmy więc, że w przypadku ciągu {/„}n£H nie zachodzi teza twierdze-njajJegcrowa. Zauważmy, że funkcje /„ są-niemierzalne (patrz rozwiązanie zadania

K

88. Przypuśćmy, że jest spełniony warunek (*). Niech M - i. Oczywiście >z(N) = 2 oraz /„ -* 0 na zbiorze M. Mamy /„ =i 0 na zbiorze E₀ i fi'{Eo) > §, łięc Ea = N, bo

dla A = 0,

,i-(A) =

dla AC N, N#A?Łl dla A = M.

^jednostajnej zbieżności /„ na zbiorze W, wynika, że istnieje takie n₀ 6 PI, że fi) = 0 dla dowolnego x € M i dowolnego n > no- Ustalmy n > n₀. Wtedy dla * > n, co daje nam sprzeczność. Wykazaliśmy, że ciąg {/_n}nett nie inla warunku (*).

. Niech f_n =    > niech p będzie miarą Lebesgue’a w R. Wystarczy po-

Vp = (—oo, 1). Wteidy f_n =$ 0 na Eo i oczywiście p(£o) > M dla dowolnego ,i(K) = oo. Ciąg f_n spełnia więc warunek (*) z zadania 188. Natomiast nie pełnia tezy twierdzenia Jegorowa (patrz zadanie 186).

gl90. Niech X = {x_n}n6ti- Z założenia wynika, że istnieje zbiór A C X taki, f$C-+ f na X - A i /r*(A) = 0. Niech A* =    ,xt} - A. Mamy

I Ajfc+i dla dowolnego k 6 N oraz limt_c» At = X - A. Stąd limt—oo fi'(At) = 'limt—oo At) = n‘(X - A) = n(X). Dla dowolnego M < p(A") istnieje takie 5~6 N, że dla dowolnego k > ko zachodzi p"(At) > M. Połóżmy Eo = At„.

ot Eo jest zbiorem skończonym, więc f_n jest zbieżny jednostajnie do / na Eo. jEfdówodniliśmy, że jest spełniony warunek (*) z zadania 188.

|9L Niech X = N,

Niech {/n}n£i* będzie ciągiem funkcji zdefiniowanym w zadaniu 188. Wtedy — 0 na N. Miara zewnętrzna jako regularna (patrz zadanie 20) spełnia warunek (II) z zadania 26. a więc na podstawie zadania 190 zachodzi warunek (*) z zadania 188. Natomiast teza twierdzenia Jegorowa nie jest spełniona, ponieważ jedynymi zbiorami mierzalnymi jest zbiór pusty i przestrzeń A, a /„ nie jest zbieżny jednostajnie naN (patrz zadanie 188).

192.    Na podstawie zadania 182 istnieje zbiór E = Ei taki, że p(X - E) = 0 i /„ =: / na Et dla i = 1,2,... Połóżmy H_k = [f_i=lEi dla * = 1,2,... Wtedy

n[X) = limt—co ^(fft) i /„ =t / na H_k dla t = 1,2,____ Stąd dla dowolnego

M < ft{X) istnieje k_Q g N takie,,że n(Hk<,) > M i f_n ^ / na Hk₀- Wykazaliśmy, że jest spełniony warunek (*) z zadania 188.

193.    Z założenia wynika, że dla dowolnego m g N istnieje zbiór mierzalny A_m

taki, że /„ =3 / na zbiorze X - A_m i /i(A_m) < A. Niech A = Dm=i Am- W^tedy /„ —• / na zbiorze X - A \ /i(A) =    = 0. A więc /„ — / (prawie

wszędzie).

194.    Niech będzie dane s > 0. Oznaczmy B_n = {x : |/_n(x) — /(x)j > s). Niech a będzie daną liczbą dodatnią. Wówczas istnieje liczba m g N taka, że — < a. Na podstawie założenia istnieje taki zbiór mierzalny A_m, że /„ X / na X - A_m i n{A_m) < £■ Stąd istnieje no 6 f'I takie, że dla dowolnego naturalnego n > no i dla dowolnego x 6 X - A_m zachodzi |/_n(x) - /(x)| < t. Zatem B_n C A_m dla n > no, więc n(B„) < <r dla n > no- Z dowolności s > 0 i er > 0 mamy, że ciąg {fn }ng!i jest zbieżny według miary do /.

195.    Ze zbieżności jednostajnej prawie wszędzie wynika zbieżność prawie jednostajna. Odwrotne wynikanie nie jest prawdziwe (patrz rozwiązanie zadania 182).

196.    Z warunków zadania wynika, że dla dowolnego 6_m = m g N, istnieje zbiór E_m taki, że jz(E_m) < Niech E = f)™-i £m- Wtedy n(E) = 0. Ponadto, jeśli x g A" - E, to istnieje takie mo £ N, że x £ X — E_mo. Z założenia istnieje takie no £ M, że dla wszystkich m,n > no oraz x £ X-£_m„ zachodzi |/_m(*) — /n(x)| < £• Stąd wynika, że istnieje lim_n„oo fn(x) dla każdego x £ X - E. Niech

dla x € X - E, dla x g E.

Z warunków zadania wynika, że /„ =5 / na X - E_m dla dowolnego m 6 PI. Stąd wynika, że /„ —•• / (prawie jednostajnie).

197.    Wskałówka: skorzystać z zadania 159.

198.    Na podstawie twierdzenia Luzina dla dowolnego n £ M istnieje zbiór domknięty F_n C A taki, że f\F_n jest funkcją ciągłą i n{A — F_n) < Wtedy zbiory H,i = (J"_₁ Fi są domknięte i funkcje f\H_n są ciągle dla n g N. Niech H = UnLi ^n, wtedy /i(A — H) = 0 i H jest zbiorem typu F_a. Niech /„ będzie ciągłym przedłużeniem na funkcji f\H_n- Funkcje /„ istnieją na podstawie twierdzenia Tietzego: „Każda funkcja ciągła / o wartościach rzeczywistych określona na domkniętym podzbiorze F przestrzeni metrycznej X daje się przedłużyć na całą przestrzeń A', tzn. istnieje funkcja /* o wartościach rzeczywistych określona na całej przestrzeni A, ciągła i taka, że /*(x) = f(x) dla x g F”. Zauważmy, że /,, —*■ / na H. Zatem f\H jest funkcją pierwszej klasy Baire’a.