23 (944)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

65/ Podczas obserwacji roztworu złota pod mikroskopem, zarejestrowano k cząstek złota w polu widzenia mikroskopu, w jednakowych odstępach czasu. Dane przedstawiono w tabeli 34. Obliczyć średnią oraz wariancję empiryczną. Porównać rozkład prawdopodobieństwa empiryczny z prawdopodobieństwem w rozkładzie Poissona z parametrem A = ł, 4 dla n = n₀ +...n$.

k	0	i	2	3	4	5	6	7	8
	100	150	141	120	85	50	3	1	1

Tabela 34.

Rozwiązanie:

Dokonano 651 obserwacji. Do obliczeń wykorzystano wzory (1.18) i (1.20). Dla n = 651 podstawiając do wzorów (1.18) i (1.20) otrzymujemy:

_ i 651 i

X =-Yx,=-[0 100 +1 150 + 2-141 + 3120 + 4 85 + 5-50 + 6-3 + 71 + 8 ll= 2,1736

651t; ' 651^L J

s²=— = 2,38

65itr'

Aby porównać prawdopodobieństwo empirycznej oraz teoretyczne p_k należy obliczyć ich wartości ze wzorów:

Prawdopodobieństwo empiryczne ze wzoru: p = —

Prawdopodobieństwo teoretyczne ze wzoru: ⁿ

P(x = k)=e->*- gdzie A. = 1,4. ^v ' k\

Dla przykładu pokazano kilka kolejnych obliczeń w rozkładzie Poissona. Wyniki zamieszczono w tabeli 35.

P(X = 0)=-+i!l^; />(* = 1) = J-lLiL />(J|f ₌ 2)=J-^L ^v ’_e/0\ J/ I! ^V ’ _e/ 2!

Tabela 35.

Śm

0,1536

0.2304

0.2166

0,1843

0,1305

0,0768

0,0046

0,0015

P(X =k)

0,2466

0,3452

0,2416

0,1128

0,0394

0,011

0,0026

0,0005

0,0001

66/ Czas wymiany detalu w obrabiarce jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o nieznanym m i a = 1. Niech wyniki: 7, 4, 5, 6, 4, 3, 6, 5, 6 będą wynikami z obserwacji. Obliczyć średnią empiryczną dla danych. Wiedząc, że

-44-

m\ ma rozkład N(0,1) wyznaczyć a, dla którego [yfn\X - 5| < a)> 0,95

zmienna losowa Y = 4n\X -spełniony jest warunek:

Rozwiązanie:

Przeliczając dane otrzymujemy, że: 3-1; 4-2; 5-2; 6-3; 7-f.( Gdzie pierwsza liczba oznacza wynik, a druga ilość powtórzeń)

X = -[31 + 4 2 +5-2 +6-3 + 7-1]= 5,11

Szukamy a, dla którego spełniony jest warunek: /^>(Vn|A'-5|<a)sO,95 P{- a < 3(X - 5) < a) > 0,95 P(- a<Y <a)> 0,95 dla )^/ = 3(A'-5)

2/^J(0<y < a) >0,95 P{0< Y <a)> 0,475 F{a)-F(0)> 0,975 a > 1,96

5. Estymacja przedziałowa

Problematyka estymacji przedziałowej polega na tym, aby znaleźć przedział (Z); z₂) zwany przedziałem ufności, w którym nieznany parametr znajdzie się z zadawalającym nas prawdopodobieństwem. Końce przedziału wylicza się wg odpowiednich wzorów w zależności od przyjętego modelu przyjmując odpowiednią bliskość prawdopodobieństwa równego 1, zwaną poziomem ufności.

Przedziały ufności dla średniej.

Model I:

1/ populacja generalna ma rozkład N(m, o);

2/ odchylenie standardowe jest znane;

3/ parametr m jest nieznany, dla niego szukamy przedziału ufności;

4/ próba o liczebności n.

Końce przedziału ufności wyznaczamy ze wzorów :

(1.25) — <7 — a

Z, =X-fi_a-j=; orai Z₂ = X +^_a-_r;

-Jn

gdzie obliczamy z zależności: p(\^u\>Pa)^=a. Przyjmujemy, że U~N(0,1). Model II:

1/ populacja generalna ma rozkład N(m, o);

2/ odchylenie standardowe nie jest znane;

3/ parametr m jest nieznany, dla niego szukamy przedziału ufności;

-45-