25 (138)

Twierdzenie 2.

Jeżeli pole wektorowe jest rotacją pola wektorowego, to jest to pole bezźródłowe.

Uwaga 3.

Tezę tego twierdzenia można zapisać krótko: div(rotF) = 0.

Uwaga 4. dek*.

Pole wektorowe F, które jest jednocześnie bezwirowe i bezźródłowe nazywamy polem harmonicznym. Potencjał tego pola spełnia równanie: Acp=0 (równanie Laplace’a).

2.    div((pF) = cpdivF + Fgrad(p;

3.    rot(cpF) = (protF + Fxgradcp;

4.    div(FxG) = GrotF - F rotG.

Jeśli pola skalarne cp i \j/ oraz pola wektorowe F i G są klasy C¹, to zachodzą następujące równości: 1.    grad(cp\|/) = (pgrady + ygradtp

Całka podwójna

Niech funkcja f: D->9t², gdzie D<=91² będzie ograniczona.

Dzielimy obszar D na n rozłącznych części Dj (1=1,.... n)

(P,Q)eDj

Zakładamy, że podział obszaru D jest

o średnicach §j = sup d(P, Q) i polach Ag*.

normalny, tzn. max8_i—— >0.

Z każdego Dj wybieramy dowolny punkt Pj(Xi,yj)

n

Jeżeli przy dowolnym podziale normalnym obszaru D i przy dowolnym wyborze punktów Pj ciąg (s_n) ma granicę właściwą to granicę tę nazywamy całką podwójna z funkcji f po obszarze D

i oznaczamy symbolem: JJf(x,y)dxdy lub krótko JJfda (samą funkcję f nazywamy całkowalną w

D    D

sensie Riemanna w obszarze D).

MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki

25