280 (29)

dym z. nich lo samo itd. (patrz ryc. 10.46). Pó nieskończenie wiciu krokach otrzy-mamy zbiór punktów, którego wymiar na pewno mc jest równy jedności, pomewaz zbiór ten składa się z oddzielnych punktów. Z drugiej strony wymiar tego obiektu nie jest również zerowy, ponieważ ..wypełnia" on linię prosty bardziej niż izolowane punkty: jak pokazał Cantor. zawiera on continuum punktów, czyli tyle samo co odcinek prostej! Zwróćmy uwagę, że każde zredukowanie długości odcinka pokrywającego zbiór Cantora, powtiduje podwojenie liczby odcinków koniecznych do pokrycia tego zbioru. Tak więc po n-tej redukcji odcinka pokrywającego mamy iV = 2* oraz d = 3*.

I) ■ lim

J°Łl_

r-Ologd/J)

. „_m !<*£} . |2£_2

— log(3‘)    »°*³

-0.6309

(10.6)

Jest to wynik zgodny z naszymi oczekiwaniami.

10.1.6. Charakterystyka układów chaotycznych

Podsumujmy teraz nasze rozważania. Czym się charakteryzują układy chaotyczne?

1.    Sygnał generowany przez układy chaotyczne jest aperiodyczny.

2.    Niewielka zmiana warunków początkowych prowadzi po odpowiednio długim czasie do dużych zmian wartości sygnału. Jest to właściwość zwana wrażliwxv ścią na warunki początkowe.

3.    Zachowanie układu chaotycznego jest deterministyczne, to znaczy określone przez ścisłe równania matematyczne, jednak nieprzewidywalne ze względu na skończoną dokładność wszelkich pomiarów i obliczeń.

4.    Układ chaotyczny posiada atraktor. którego wymiar jest liczbą ułamkową, natomiast wymiary at rak torów układów periodycznych są liczbami całkowitymi. Atraktor układu stochastycznego ma wymiar nieskończenie wielki.

10.2. Jak odróżnić układ chaotyczny od stochastycznego?

Skoro istnieje ścisłe podobieństwo międ/y sygnałem generowanym przez układ chaotyczny i stochastyczny, pojawia się pytanie, czy istnieją jakieś metody, za pomocą których można by ustalić, czy generacją jakiegoś sygnału rządzi układ chaotyczny czy stochastyczny? Nasze rozważania wskazują, żc jedną z metod mogłoby być określenie wymiaru chaotycznego atraktora. Jeśli jest on liczbą ułamkową, to układ jest chaotyczny, jeśli liczbą całkow itą. to układ jest liniowy, natomiast gdy wymiar dąży do nieskończoności, mamy do czynienia z układem stochastycznym.

Głównym problemem, na jaki się natrafia przy analizie złożonych układów dynamicznych. jest niemożność monitorowania wszystkich zmiennych dynamicznych układu. Co więcej, często niemożliwe jest również zidentyfikowanie tych zmiennych. Dotyczy to sygnałów biologicznych, takich jak EEG. kiedy możemy zakładać. żc w iclc zmiennych jest zw iązanych z ich generacją.

280