287 (14)

574 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera

Rys. 22.13. Pochodna funkcji z rys. 22.12

Rys. 22.11. Sinusoidalny sy-    Ry^s- 22.12. Pochodna funk-

gnał impulsowy    ^CJ' ^{z r}y^s- 22.11 a transformata Fouriera tego równania przybiera postać czyli

Biorąc po uwagę, że    F(o>), otrzymujemy

(jru)² F(r/>) = — F(w)-t-<4(e^l"^,+e"^J“^),

a stąd

om

2/lcos-—

F(ru) = A -

1 -(O²

I —Oj

Metoda wyznaczania gęstości widmowej sygnałów za pomocą różniczkowania funkcji czasowej jest bardzo wygodna w zastosowaniach i może być wykorzystana do przybliżonego obliczania gęstości widmowej. W tym celu aproksymujemy sygnał za pomocą linii łamanej. Po zróżniczkowaniu otrzymuje się ciąg impulsów prostokątnych o wysokościach równych tangensowi kąta nachylenia odpowiednich odcinków linii łamanej. Po powtórnym zróżniczkowaniu otrzymuje się ciąg przesuniętych funkcji impulsowych Diraca, działających w punktach załamania linii łamanej. Pola tych funkcji impulsowych równają się skokowej zmianie pierwszej pochodnej sygnału w punktach nieciągłości.

Obliczenie transformaty Fouriera drugiej pochodnej sygnału sprowadza się z jednej strony do obliczenia transformaty ciągu funkcji impulsowych Diraca

r

22.3. Przykłady obliczania gęstości widmowej    575

o różnych polach, a z drugiej strony — do zastosowania wzoru na transformatę Fouriera drugiej pochodnej. Z porównania obu wyników otrzymuje się gęstość widmową rozpatrywanego sygnału, aproksymowanego za pomocą linii łamanej.

22.4. Przekształcenie odwrotne

22.4.1.    Uwagi ogólne

Za pomocą przekształcenia odwrotnego wyznacza się funkcje /(t) zmiennej rzeczywistej t (oryginały), odpowiadające określonym gęstościom widmowym F((o), będącymi funkcjami pulsacji a>. Przekształcenie odwrotne ma postać wzoru całkowego

1 +00

f(t) =    = — j jF(co)e^j"'do>.    (22.34)

^ -00

Przekształcenie odwrotne jest liniowe. Jeżeli a, b są stałymi, to

^~¹{aF((o) + bG((o)} = a&~¹{F((D)} + b&~¹{G(o>)},    (22.35)

wobec tego przekształcenie odwrotne kombinacji liniowej gęstości widmowych równa się kombinacji liniowej przekształceń odwrotnych tych funkcji.

Obliczanie przekształcenia odwrotnego ma bardzo ważne znaczenie, gdyż pozwala wyznaczyć oryginały odpowiadające zadanym gęstościom widmowym. W dalszym ciągu omówimy dwie metody wyznaczania oryginału.

22.4.2.    Obliczanie oryginału za pomocą residuów

Przekształcimy gęstość widmową F(a>) przez podstawienie s = jtu, czyli w = — js, a otrzymaną w ten sposób funkcję oznaczymy F(s/j). Przyjmując, że s jest zmienną zespoloną, otrzymujemy funkcję F(s/j) określoną w całej płaszczyźnie zmiennej zespolonej, a gęstość widmową F(a>) otrzymuje się dla punktów osi urojonej s =ja>. Podstawiając <y = —js = s/j do wzoru (22.34), znajdujemy

1

^+j0> /s\

f(t) = — J F l- Ws,    (22.36)

- jCO \J /

Przy czym drogą całkowania jest oś urojona, którą — zgodnie ze wzorem s = jco ~ otrzymuje się po obrocie osi rzeczywistej o kąt n/2 w dodatnim kierunku trygonometrycznym.

Spotykane w zastosowaniach funkcje F(s/j) są zazwyczaj meromorficzne. Funkcje ^ ttteromorficzne są jednowartościowe i nie mają innych punktów osobliwych oprócz