28 (296)

Elektronika dla informatyków

a) przy częstotliwości fi oporność wypadkowa, czyli impedancja Z ma charakter pojemnościowy

Rys. 42

Xl

Xc

Rys. 43

a)

Rs

U_r = L

^b>    Odnotujmy natomiast

czyli impedancja z    pewna ważną cechę,

ma charakter    .    ,    "    , . .

indukcyjny    która ma scisły zwią-

zek z rezonansem i skutkami pokazanymi na fotografii 38. Otóż jak już wiemy, w stanie rezonansu impedancjc Xi_ i

- Xc znoszą się i całe

napięcie genera-tora (Ug) występuje na rezystancji Rs. Widziana z zewnątrz wypadkowa oporność obwodu RLC jest równa Rs i w obwodzie płynie największy prąd (1 = Ug/Rs).

Chyba nie masz wątpliwości, że całe napięcie źródła Ug występuje wtedy na rezystancji Rs? Ale co z napięciami na cewce i kondensatorze?

Otóż napięcia na cewce i kondensatorze będą dużo większe niż napięcie zasilające! Skąd się wezmą?

Ano właśnie tak daje o sobie znać zjawisko rezonansu. Ale nie znaczy to, że w rezonansie są złamane podstawowe prawa fizyki i że napięcie „pojawia się znikąd”. Wprost przeciwnie, wszystko wynika z elementarnych zasad i wzorów, które dobrze znasz.

Otóż jak w każdym obwodzie szeregowym, ten sam prąd I płynie przez wszystkie elementy i wywołuje na nich napięcia (spadki napięć). Nadal obowiązuje tu napięciowa prawo Kirchhoffa: suma napięć na elementach równa jest napięciu źródła:

U_G= U_l+ U_Rs+ Uc

Nadal, także przy rezonansie, obowiązuje prawo Ohma - fundamentalna zależność między napięciem, prądem i opornością. Jak już ustaliliśmy, całe napięcie generatora występuje na rezystancji Rs, co możemy zapisać

Ur_s=T*Rs. Prąd I, przepływając przez reaktancje, najzwyczajniej wywołuje na nich (spadki) napięcia Ul=I*Xl, Uc=I*X_c.

- Znajdźmy w

prosty sposób wartości tych napięć w zależności od dobroci Q. Nieprzypadkowo wcześniej zdefiniowaliśmy dobroć obwodu LC jako:

Q = X_l/Rs = X_c/Rs =

= p/Rs = (L/C)^1/2/Rs Oznacza to, że reaktancje Xl, Xc są Q-krotnie większe od Rs. A jeśli tak, to \l'o 20 Re(Z)/Q prąd I, przepływając przez ¹ 70 kHz    Q-krotnie większe oporności,

_{50 kHz}    wywoła na nich napięcia Ul i

Uc także Q-krotnie większe od napięcia na Rs - proste i oczywiste! A ponieważ Ur_s= Ug, więc w szerego-

30 kHz

rezystancję Rs, jak pokazuje rysunek 42. Znów szeregowa rezystancja Rs reprezentuje nie tylko rezystancję drutu, ale w ogóle wszelkie straty.

Nietrudno się domyślić, że i w tym przypadku wypadkowa oporność (impedancja) obwodu RLC jest równa sumie:

Z = Rs + Z[.+ Z_r co ostatecznie daje:

Z = Rs + j(X_L - X_c)

Znów trzeba brać pod uwagę zależności fazowe, więc trudno byłoby sensownie zaznaczyć rezystancję Rs na rysunku 40a czy 40b. Można natomiast łatwo zrobić to na wykresie wskazo-wym. Trzy przypadki pokazane są na rysunku

43,    który dotyczy sytuacji z rysunku 41, tylko z dodatkową rezystancją strat Rs. Do obliczenia liczbowej wartości oporności wypadkowej, czyli modułu impedancji, można wykorzystać albo trójkąt Pitagorasa (|Z| = (R²+ X²)¹²), albo funkcje trygonometryczne.

Jeszcze raz podkreślam, iż przy częstotliwości rezonansowej f« reaktancje Xl, Xcsą jednakowe i się znoszą. Nie ma przesunięcia fazy między prądem i napięciem, a wypadkowa oporność obwodu jest najmniejsza i równa Rs. Co ważne, całe napięcie zasilania występuje na rezystancji Rs.

Często w podręcznikach przedstawia się zależność prądu i oporności wypadkowej od częstotliwości mniej więcej jak na rysunku

44.    Pominiętą tu informację o kącie przesunięcia można zaznaczyć

na oddzielnym -

wykresie. Rysunek 45 (z niemieckiej Wikipedii) w znacznie rzadziej spotykany sposób obrazuje przebieg impedancji, zaznaczony na płaszczyźnie zespolonej, gdzie można odczytać liczbową wartość (moduł impedancji - odległość od punktu zerowego) i kąt przesunięcia - dotyczy on szeregowego obwodu o parametrach: C = 0,lpF,

L = 50uH, R = 5Q.

Moglibyśmy teraz badać związek szerokości krzywej z rysunku 44 z dobrocią Q. Ale na razie pomińmy ten wątek.

Rys. 44

Rys. 45

j Im(Z)/Q 40 i-

20 j-

180 kHz

20 kHz

C

L Oj

R

0

Z

90 kHz

l/^h

-20 j-

-40 j-

Ul

G

©KM

Uc

Rys. 46

wym obwodzie rezonansowym napięcia na kondensatorze i cewce są Q-krotnie większe od napięcia zasilania:

U_L= Ue= Q * U_G

Oczywiście wartości tych wysokich napięć są równe, a przebiegi napięcia mają przeciwne fazy, więc się znoszą. Rysunek 46 pokazuje prąd i napięcia w stanic rezonansu dla obwodu RLC o dobroci Q = 10. Natomiast na rysunku 47 pokazany jest odpowiedni wykres wektorowy. W praktycznych obwodach dobroć może wynosić nawet kilkaset, więc napięcia rezonansowe

(przepięcia) ^Rys" ⁴⁷ na cewce i kondensatorze mogą być kilkaset razy większe od napięcia zasilającego taki obwód.

Czym większa dobroć, tym większe przepięcia. Z takiej analizy wynika, iż gdy Rs maleje do zera, czyli gdy rośnie dobroć Q, to wtedy rośnie zarówno prąd I, jak też napięcia na cewce i kondensatorze. Teoretycznie rosłyby one do nieskończoności...

Totalna destrukcja?

Niektórym początkującym nie bardzo mieści się to w głowie, że w^r rzeczywistym szeregowym obwodzie LC mogą się pojawić napięcia wielokrotnie większe od napięcia zasilania. U innych początkujących jest odwrotnie: na hasło rezonans przypomina się most z fotografii 38 i pojawia się przerażająca perspektywa totalnej destrukcji obwodu LC. Niektórym wydaje się, że podobnie jak w przypadku mostu z Angers, nawet małe źródło może stopniowo „napompować” obwód LC i stopniowo zwiększać drgania niemal w nieskończoność, doprowadzając do katastrofy. Na myśl przychodzi też groźny przykład dziecka, które może stopniowo tak bardzo rozkołysać huśtawkę, że zabawa skończy się tragedią - fotografia 48 z Wikipedii.

Istotnie, huśtawka taka jest dobrą analogią obwodu rezonansowego RLC i rzeczywiście w pewnych szczególnych przypadkach

28 Luty2010    Elektronika dla Wszystkich