311 2

311

7.7. Funkcje wielu zmiennych

W^r tedy    3

/= f ?(x)sin'xdx

(-»

_r -jj wyznacza się stosując do całki (7.7.1) metodę Romberga. Obliczając nu-wrvczr»g całkę (7-7-2) otrzymuje się wartość 7= 0.13202 ± 10" \ Korzysta się z 96 wartości "dla ka&tej z nich oblicza się średnio 20 wartości funkcji. Siatkę wybiera się tak, aby należał do niej punkt x=\Jl. gdzie funkcja ę>'{x) jest nieciągła

Rys. 7.7.1

Podobnie można postępować i w innych zadaniach numerycznych. Przykładem jest wzór interpolacji dwudniowej

(7.7.3) ulx_c + ph. yo + <7^*<^,(>^,o) + 4[^(>'o+^)-?^,(>'o)]-

gdzie 9(y) = u(x₀, y)+p[u(x₀ + h, >)-u(x₀. y)].

dokładny dla wszystkich funkcji postaci w(x, y)=a Ą-bx+cy +dxy. Jeśli    I, ^ 1,

to błąd tego wzoru szacuje się za pomocą wyrażenia

max i [p(l - p) h² |C| + <?0 -9>^^a|d3

ix.y)cK

(zob. f 7,3.2), gdzie R jest prostokątem {(x, y):    -ł*Arj.

7.7.2. Siatki prostokątne

Siatka protokątna na płaszczyźnie (x, y). z odstępami h i k odpowiednio wzdłuż osi * - }’> składa się z punktów (x_{> yj) takich, źe

x_ł==x₀ + iA, y^ya+jk.

Przybliżenia różnicowe pochodnych cząstkowych wyrażające się przez wartości funkcji na siatce otrzymuje się, rozpatrując każdą zmienną oddzielnie. Oto przykłady:

0.7.4)

ox    2 h

dy    2k

(wartości obu pochodnych wzięto w punkcie (x,, j>y); to samo odnosi się do następnego Wzoru). Niekiedy używa się też wzorów aiesyroetrycznych, np. takiego:

(7-7.5)

du

dx

h

+ 0(h).