6827068956

Funkcje wielu zmiennych

Definicja (funkcji n - zmiennych)

Funkcją n - zmiennych określoną na zbiorze A <= R" o wartościach w R nazywa się przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Taką funkcję oznacza się symbolem:

/: A -» R

lub    u = f(P), P&A

lub    u = f(x_vx₂,...,x_n), P = {x_vx₂,...,x_n)<=A

Uwaga

(i)    Wykres funkcji z = f (x-a,y-b)+c powstaje z wykresu funkcji z = f(x,y) przez przesunięcie o wektor v = [a,6,c]

(ii)    Wykres funkcji z = -f (x,y) powstaje z wykresu funkcji z - f (x,y) przez symetrię względem płaszczyzny XOY

Definicje

Niech P° = (p°_{, p₂,p°_n)e R", P = (p,, p₂,p_n) e R"

(i)    Odległość punktu P od punktu P"

(ii)    Otoczenie punktu P" o promieniu r > 0

o(p°,r):={Pe R" :d_R„ (p\p)<r, r>o}

(iii)    Sąsiedztwo punktu P° o promieniu r > 0

(iv)    „Zbieżność po współrzędnych”

P P" o Vi = 1,p_{ -> p"_t

Definicja (Cauchy’ego granicy właściwej funkcji w punkcie)

Mówimy, że funkcja / określona w sąsiedztwie S(P°,r) punktu Pⁿ € R" ma w tym punkcie granicę ge R, gdy dla każdego e>0 istnieje sąsiedztwo S    takie, że dla

każdego P należącego do tego sąsiedztwa zachodzi nierówność

limj(p) = ge> Ve>0 36>0 VPeS(r°,8) d_K (f{P),g) =|/(F)-s| <E

Definicja (Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie)

Niech funkcja / będzie określona przynajmniej w sąsiedztwie S (/*",/•) punktu P° e R". Liczba ge 1 jest granicą funkcji / w punkcieP°€ R", gdy

VP* =(p‘,...,/>*)e S(P°,r) lim P^k = P° => lim f(P^k) = g