6827068993

1)    Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A cR²o wartościach w

zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Piszemy f: A -» R lub z =/(x, y). Wartość funkcji f w punkcie (x, y) oznaczamy f(x, y).

Z definicji wynika, ze zbiór A na którym funkcja/jest określona (dziedzina funkcji, oznaczenie Df) powinien być podany. Jeżeli podany jest tylko wzór określający funkcje, to zbiór punktów płaszczyzny dla których ten wzór ma sens nazywamy dziedzina naturalna funkcji.

Wykresem funkcji z=f(x, y) nazywamy zbiór: flx, V, z) E R³: (x, y) e Df, z =ftx, y)}.

Poziomica wykresu funkcji f dla poziomu h ER nazywamy zbiór:

{(x, y) E Df: f(x, y) = hj.

Poziomica jest krzywa zawarta w dziedzinie funkcji.

2)    Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu (x0, yO).

Pochodna cząstkowa rzędu pierwszego funkcji f względem x w punkcie (x0, yO) określamy wzorem:

df,    , def _v /(rc₀ + Ax,y₀) - f(x₀,y₀)

-^-{xo,yo) = lim ---

dx    Ax—»o    Ax

Analogicznie określamy pochodną cząstkową funkcji/względem y w punkcie (x0, yO):

^dM_x0,_yo)^AM _Um f^yo + *y)-f(xo,yo)

dy    A_y—*o    A y

Jeżeli pochodne cząstkowe rzędu pierwszego istnieją dla wszystkich punktów pewnego zbioru A, to w tym zbiorze można rozpatrywać funkcje pochodne. Obliczając pochodne cząstkowe tych funkcji otrzymamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Dokładniej, określamy:

dfl

dx²

(zo,2/o)

def

(~

(ar₀, t/o),

d²f

dxdy

(x₀,yo)

def

{xo,yo),

d²f

dydx

(®o, 2/o)

def

d_(dj_ dx \dy

(*0,2/0),

dy²

(*o, yo)

def

(-

\dy

(*o,2/o)-