27898

EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

Niech funkcja flxy) będzie określona w pewnym obszarze DoR². Mówimy, że funkcja J[xy) ma w punkcie (xo,yo)€D maksimum lokalne (minimum lokalne), jeżeli istnieje takie otoczenie S punktu (xo,y₀), że dla każdego punktu (xy) należącego do otoczenia S spełniona jest nierówność

/(*. y) ^ /W yo) (/(*. yU /(* o. y<>))

WARUNEK KONIECZNY: Jeżeli funkcja dwóch zmiennych fix,y) ma w punkcie (*od^;o) ekstremum i ma w tym punkcie pochodne cząstkowe pierwszego rządu, to fx(x₀-yo)=°    ¹    /i'Uo->'o)=⁰

Punkty (ATo,jy₀X które spełniają powyższe warunki nazywamy punktami stacjonarnymi

WARUNEK WYSTARCZAJĄCY: Jeżeli funkcja dwóch zmiennych J{xy) ma w pewnym otoczeniu punktu (ato^o) ciągle pochodne cząstkowe drugiego rzędu, /x(*o>.Vo )= ⁰ i fy (*o> ^0)= ⁰ ((*od^;o)jest punktem stacjonarnym) oraz

/.u    fxy

fyx    fyy

^: /.« (*0>^0)'fyy (^xO>yo )“ fxy (*0» ^0 Yf 'vx (*0’ .Vo ) > ⁰

(•V.v₀)

to/ma w punkcie (x₀yo) ekstremum lokalne.

Jeśli W (a:₀ , y₀) = 0, to powyższe kryterium nie rozstrzyga, czy funkcja /ma w punkcie (ato^o) ekstremum lokalne. Jeśli lU(A:₀,y₀)< 0, to funkcja/nie ma w punkcie foyo) ekstremum lokalnego.

Jeśli f_Xf(xo*yo)^>Q>^t0/^ma minimum lokalne, a jeśli /_xx(Ar₀,yo)^<0» to /ma maksimum lokalne w punkcie (ato^o)

2

Arkadiusz Lisak