CCF20121001007

ASYMPTOTY WYKRESU FUNKCJI y=/(;c)

Asymptoty pionowe

Niech funkcja/!*) będzie określona w pewnym przedziale (a,b) z wyłączeniem punktu *₀ z tego przedziału.

Definicja: Prostą *=*₀ nazywamy prawostronną asymptotą pionową krzywej o równaniuy=J{x) wtedy, gdy

lim /(*) = -oo i_ub lim /(*) = +co

X—x->xt

Definicja: Prostą *=*₀ nazywamy lewostronną asymptotą pionową krzywej o równaniu y=/!*) wtedy, gdy

lim f(x) = -oo iub lim /(x) = +oo

*~>*0    X->XQ

Definicja: Prostą *=*„ nazywamy obustronną asymptotą pionową krzywej o równaniu _v=/!*) wtedy, gdy jest ona asymptotą lewostronna i prawostronną pionową dane^ krzywej_

Asymptoty ukośne

Niech funkcja /!*) będzie określona odpowiednio w jednym z przedziałów (- co,a), (b, + oo).

Definicja: Prosta o równaniu y=mx+n, jest asymptotą ukośną lewostronną (w -oo) krzywej y=/!*), jeżeli istnieją granice właściwe

m= lim    n = lim {f(x)-mx)

jc—>-oo X    x->-co

Definicja: Prosta o równaniu y=mx+n jest asymptotą ukośną prawostronną (w +oo) krzywej    y=/(x), jeżeli

istnieją granice właściwe

m= lim ^    «= Hm (f(x)-mx)

X->+00 X    X->+00

45

Niech teraz funkcja/!*) będzie określona w sumie przedziałów (- oo,a)u (ó,+°o).

Definicja: Prostą o równaniu y=mx+n nazywamy asymptotą ukośną obustronną krzywej y=/j*), jeżeli jest jednocześnie asymptotą ukośną lewostronną i prawostronną danej krzywej.

Uwaga: Jeśli w powyższych definicjach m=O, to asymptotę nazywamy odpowiednio poziomą lewostronną,

y=A*)

Asymptotą pozioma jednostronna (w -<*>)

prawostronną lub obustronną.

Asymptotą ukośna jednostronna (w +°°)

FUNKCJE CIĄGŁE

Definicja: Mówimy, że funkcja/: X-» R jest ciągła w punkcie *₀, jeżeli

>istnieje granica " funkcji/!*) gdy *—>*₀;

>*₀ eDf czyli istnieje wartość funkcji/(*₀)

>g=J\x») czyli Hm f(x) = f(x₀)

x->x₀

Jeżeli jeden z powyższych warunków nie jest spełniony, to mówimy, że funkcja / jest nieciągła w punkcie *„ a punkt *₀ nazywamy punktem nieciągłości tej funkcji.

Punkty nieciągłości

Punkty nieciągłości I rodzaju istnieją właściwe jednostronne granice różne bądź równe i różnią się od wartości funkcji w danym punkcie. Punkty nieciągłości II rodzaju chociaż jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub jest granicą niew łaściw ą._

Funkcje nieciągłe - przykłady