32 33 (18)

32

Przestrzenie liniowe

Czwarty tydzień

Współrzędne wektora w hazie (1.5).

Przykłady

• Przy Wad 4.1

Znaleźć z definicji współrzędne podanego wektora we wskazanej bazie odpowiedniej przestrzeni liniowej:

a)    v= (-2,5,5) G iż³, B = {(1,1.0),(2,1.0),(3,3_: 1)};

b)    v = (1.0,1,0) 6 R^Ą B = {(1,2,3,4),(0,1,2,3),(0,0,1,2), (0,0,0, L)};

c)    p = 2x² + 3r € /2₂|z:], fi={2 + x,3-x x² + 4}

d) A =

1 1

3 0

-{[i-i].

1 1

0 -1

-1 1 0 1

0 0 1 0

}■

Rozwiązanie

a)    Współrzędne [01,03,oraj wektora v znajdziemy z warunku

(-2,5,5) = a, (1.1.0) + 02(2,1,0)+ 03(3.3,1),

który prowadzi do układu równań

f fli + 2q₂ + 3o₃ ⁼ ~2 s oj + 02 4- 3o₃ =    5 .

I    cr3 =    6

Rozwiązaniem tego układu jest 01 = -6, o₂ = -7, 03 = 6. Zatem współrzędnymi wektora v są [oj, o₂, 03] = [-6, —7,6].

b)    Współrzędne [oj. 0-2, 0-3, o₄] wektora u spełniają zależność

(1,0.1 0) =Q-i( 1,2, 3.4)-1-02(0.1.2, 3)+ 03(0,0,1,2)+ 04(0,0,0,1). Otrzymujemy więc układ równań

(ot,    =1

20 !	+	O?			= 0
3oi	+	2oj	+	03	= 1
4oi	+	302	+	203	0 II +

z którego wynika, że [01,02,03, 0,1 = [1.-2,2. -2]

c) Wektor p przedstawiamy w postaci

2z² + 3z = 01 (2 + z) + 02(3 - z) + 03 (z^A + 4)

Po uporządkowaniu wyrazów otrzymujemy równość

2r² + 3x = 03Z² + (01 — 03)2: + 2oj + 302 + 4q₃

L równości wielomianów wynika równość współczynników przy odpowiednich potęgach zmiennej x, co prowadzi do układu równań

(    03 = 2

\ Oi — <*2    = 3 .

I. 2(*\ + 3qt2 + ^03 =1 O

[1    14 1

—, ——, 21 S OJ

d) Podobnie jak poprzednio zachodzi równość

’ 1 r 3 0

= O)

1-1 0 1

+ 02

■ 1 r 0 -1

+ 03

-1 r 0 1

+ a<

0    0' 1    0

ł której wynika, ze

11		Ol +02 “ O3 “Oj +02+03
3 0		q4 oi — o2 + a 3

Po rozwiązaniu układu równań

= 1

= 1 o i = 3

= O

QT|    +    02    —    <*3

— £*1    +    Oj    4-    03

Ol    —    Q2    -j-    O3

otrzymamy współrzędne rozważanego wektora [01,02,03.04] = i, 1, i, 3 Przykład 4.2

Wyznaczyć współrzędne odpowiedniego wektora v w bazie 8¹ pewnej przestrzeni liniowej mając podane jego współrzędne w bazie B :

^a)    l> *“2], B -    6₂, &3 > , B* = | 6i, 61 - S₂, 6] - 631;

b)    [2,0,1.1], B= {b_uh,h,b<}, B‘ = {-?i.?i + 5₂.36₃,i₃+ 64};

c)    [3,2,1], 3= {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}, B‘ = {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)};

d)    [1,2, ,n], fl = {S,,S_Sl.B' = {5, Jj + r₂,...J_{l +} Kj+ .. + &„}.

Rozwiązanie

a) Z danych wynika, że V = 0 • £1 + 1 - 62 + ( — 2) - 63 = 62 — 263 Niech 6_: = 61, b₂ = 6; — 62, 63 = 61 — 63. Wtedy 6] = 6j, b₂ = 6j — 6₂ 63 = 6j — 63, a zatem v = 61 - 62 -2^6] — 63^ = — 6j - 63 + 263. Szukane współrzędne wynoszą więc [-1.-1.2]

b)    W tym przypadku v = 26; + 63 + 64 Przyjmijmy b_l = — 61, 6₃ = 61 + 62, 63 = 363, b_i = 63 + 64 Podobnie jak poprzednio wektory bazy B przedstawiamy jako kombinacje liniowe wektorów bazy B' otrzymując 61 = — 6_:, 62 = 6| + fc_2l 63 = -63, 64 = —-63+64.

11    3    3

Stąd wynika, że v = -26₂ + -63 - -b₃ + 64 = —26j + 64. Otrzymujemy więc współrzędne (-2,0,0,1].