336 2

336

8 Równania różniczkowe

Dla wynikającego stąd przybliżenia y (x, A) rozwiązania w punkcie x mamy

-    •* ^mięcie.

(.8.3.5)    >-(x, h)** y(x)+c₂(x)h² +c_l(x)hⁱ +...

Można tu użyć ekstrapolacji Richardsona. Zauważmy występowanie w (8.3.5) _nj_eDa

tych potęg A. Zc względu na to nagłówki w schemacie ekstrapolacyjnym (7.2 l3Vsa r' i _M i _A i _A    ’ ‘ równe

jd, ₁₅d_t...

Najbardziej znana metoda Rungego-Kutty jest określona podanymi niż wzorami (8.3.6). Wydają się one na pierwszy rzut oka skomplikowane, ale zaprogramować je można bardzo łatwo. Funkcję f oblicza się czterokrotnie w każdym kroku.

*. -*/(*.. .PJ.

(8.3.6)    = hf (x. + \h. y_m+t*₂).

*4^V(*« + *»/•+* 3).

>’n ♦ I = >V+ 4(*1 + 2*2 + 2*) + kj Można wykazać prawdziwość rozwinięcia

y(x, h)*=y(x]-rc₄(x)h*~e₅(jc)A⁵-r-. .

Gdy używa się ekstrapolacji Richardsona, wtedy nagłówki w schemacie ekstrapolacyjnym są równe -^d, -±A_f...

Pełnego dowodu powyższych wzorów nic przytaczamy w tej książce. Uzasadniają je w pewnej mierze następujące rozważania heurystyczne. Dla dokładnego rozwiązania równania różniczkowego mamy wzór

*w+*    +

j    I f(x.y{x))^dx.

*«    Z-

Metody Rungego-Kutty są oparte na przybliżaniu tej całki za pomocą dostępnych danych. W szczególnym przypadku, gdy/nie zależy od y, metoda Hcuna jest identyczna z wzorem trapezów dla całkowania numerycznego, z błędem globalnym obcięcia równym Oih ). Potęgi nieparzyste w (8.3.5) wynikają stąd, że w przybliżeniu trapezowym wartośJ występuje jako argument y„+k_t zamiast niewiadomej y_-+ł. To przybliżenie ma *ą lokalny

* hV^ł,(xJ - - I —7^— *

* = 2 KI

w otrzymanym rozwinięciu występują 1 parzyste, 1 nieparzyste potęgi h. ^    .

Metoda Rungego-Kutty opisana wzorami (8.3.6) jest, gdy funkcja /nie zależy identyczna z wzorem Simpsona (7.2.4) z k zmienionym na |A:

r« + h

j f(x)dx = ih\J (X.) + 4/(x. + ih)+f(x, + fcj).

*n

A, =A/(xJ. k_z - k_s « A/(x„+*A),    **=A/(x. + A)

Istotnie,