3544073665

1. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego

Przykład 1.3. Rozwiązać równanie

xy' = 3y — 2x — 2y/xy — x², dla x ^ 0.

Zauważmy, że równanie jest określone dla xy — x² > 0. Zapiszmy je w postaci

y' = 3- -2 -2,

y' = u + xu',

u + xv! = 3u — 2 — 2 y/u — 1,

skąd

dx

- — V u — 1 — vii — 1 = 0.

du

2{u - 1) - 2-/u - 1 x Po scałkowaniu

ln |\/u — 1 — l| = ln |a;| + ln ICI,

czyli

y/u — 1 — 1 = Cx.

Wracając do poprzednich zmiennych mamy ostatecznie całkę ogólną rozważanego równania

y = x[l + (1 + Cx)²],

gdzie: x / 0 i 1 + Cx > 0.

Z warunku

u — 1 — y/u — 1 = 0

mamy u = 1 V u = 2, zatem odpowiednio y = x (a; ^ 0), y = 2x (x > 0), są również rozwiązaniami naszego równania. Pierwsze z nich (y = x) jest rozwiązaniem osobliwym, drugie (y = 2x) — rozwiązaniem szczególnym.

Przykład 1.4. Rozwiązać równanie

(x + y — 2)dx + (x — y + 4)dy = 0. Zauważmy, że

^det [ i -i] = “² * °-

12