róż1

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE I RZĘDU

Ąx,y,y')=0 Rozwiązanie ogólne ( CO - całka ogólna): y = <p(x.c), jeżeli F(x,<p1(p')=0, (c = const)
Zagadnienie początkowe: F\x,y,y')= 0, >(a'0 )=y0 (warunek początkowy) Rozwiązanie szczególne ( CS - całka szczególna): y = cp(x). jeżeli F{x,(p,<p')= 0
Równanie o zmiennych rozdzielonych: 1 KI 1 : =f(x) g(y) -> | dy=\f(x)dx dx ^J g(y) ^J				Równanie jednorodne: |R2| = ^z = tU) -> |RI| cix \x ) x
Równanie liniowe: |R3| — + y- p(x) = q(x) (metoda uzmienniania stałej): dx 1.    rówmanie jednorodne: - + y-p(x) = 0 -> |R1| dx 2.    uzmiennianiestałej: c = c(*) -> |RI|				Równanie Bcrnoullicgo: |R4| ŚL + y.p(x) = y".q(x) y'-"=l(x) |R3| dx
				Równanie zupełne: | R51 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 cP dQ warunek: — = — df = 0, / = c,(c = const) dy 6x
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE II RZĘDU
Równania sprowadzalne do 1 rzędu:
|R6| F(x,y\y")= 0 -> y'=/(x)				[R7| F(y.y'.y’)= 0 -> y' = t(y) !!!
|R8| F(x.y,y',y')=0 - równanie jednorodne ze względu na y,y',y" -> y = e'^lx> -» |R6| lub |R7|
Liniowe rów nanie jednorodne o stałych współczynnikach (RJ):
[R9| ay" + by' + cy - 0 -> y = e^rx, reZ (Z - zbiór liczb zespolonych) -> RC RC: ar^1 + br + c = 0 - równanie charakterystyczne dla równania | R9|
ar^2 + br + c = 0		CS - całki szczególne			COR.J - całka ogólna równania jednorodnego |R9|
1. A > 0	^ri * r2	y, = e^v, y2 =e^v			y(x) = cxy\ + c2y2	c,,c2 =const
2. A = 0	^r, = ^r2	y1 = e^v, y2 = xe^r'^x			y(x) = cty, +c2y2	ct,c2 = consl
3. A < 0	r, = a + pi, r2 = a - P't	y\ = e^r'^x, y2 =e^v			y(*) = e^ax [.-1 cos(/J>r)+ Bsin(/&)]	A,B = const
Liniowe równanie niejednorodne o stałych współczynnikach (RNJ):
[RIO] ay" + by' + c = f(x) (metoda przewidywań) Metoda przewidywań: l.CORJ[R9|, 2. CSRNJ, 3. CORNJ=C()RI+CSRNJ
f(x)			ys - całka szczególna równania niejednorodnego CSRN.ł
«•„(*)			iT'*)*), n<k<n+ 2
w„(x)e^ax			wk (x)e^ax n<k<n+ 2
w„ (.rjcosjcr.r) + v„ (.v)sin(or x)			tr* (.r)cos(ar.v) + vt (x)sin(a^) n < k < n + 2