3544073674

1. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego

^: — X + 1,	y = o
^y-, v>	= 2 x^2(C — ln |x|)
X
2	X
y i y —	x + C

1.3.5. Równania zupełne

Równanie postaci

P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0    (1.10)

nazywamy równaniem zupełnym wtedy i tylko wtedy, gdy lewa strona tego równania jest różniczką pewnej funkcji, tzn. jeżeli istnieje funkcja rzeczywista U zmiennych x i y, taka, że

dU(x, y) = P(x,y)dx + Q(x, y)dy.

Wtedy rozwiązaniem ogólnym równania (1.10) jest funkcja zadana w postaci uwikłanej

U(x,y) = C.

€ C(£>)> gdzie wówczas na to

w D

Twierdzenie 1.3. Jeżeli P,Q nieją w D ciągłe pochodne

oy ox

w D potrzeba i wystarcza by dP _ dQ dy dx

D C R² jest obszarem, oraz ist-aby równanie (1.10) było zupełne

(i.ii)

Rozwiązanie równania (1.10) można znaleźć na dwa sposoby:

1. Jeżeli warunek (1.11) jest spełniony, wówczas całka ogólna tego równania jest postaci

x    y

J P(t,xo)dt + j Q(x,t)dt = C    (1.12)

*o    2/o

lub

x    y

J P(t,y)dt + j Q(x₀,t)dt = C    (1.12a)

*0 2/0

gdzie (xq, 2/o) € D jest dowolnie ustalonym punktem.

20