340 (16)

1

1

680

26. Analiza obwodów nieliniowych

Do równania wprowadzamy parametr w ten sposób, że mnożymy przez i wyraz nieliniowy oraz funkcję wymuszającą; w odniesieniu do równania (26.65) >trzymujemy zatem

d²x

+ a>oX + fihx³ = fiGcoscot.    (26.66)

Ograniczając się tylko do wyznaczenia drugiego przybliżenia, pozostawiamy w szere-ach potęgowych dla x oraz a>² dwa pierwsze wyrazy, czyli

x(f) = x₀(t) + /ix,[(t),    co² = o)o + fib_l,    (26.67)

>rzy czym b_l jest stałą niezależną od czasu t_v wobec tego

co o = u>² — fib_l.

^łrzy wykorzystaniu tych zależności znajdujemy

o>ox ~ cu²x₀ —/ró₁x₀ + /tft)²x₁    fihx³ x fxhxl,

)0 odrzuceniu wyrazów zawierających n w potędze drugiej i wyższych, równanie 26.66) przybiera postać

d²x₀

dt²

d²x

+ fi—j- + ci)²x₀ — nb_lx₀ + n(0²x₁+nhxo = fiGcoscot. (26.68) dt

Rozpatrując w równaniu (26.68) wyrazy nie zawierające /r, otrzymujemy równanie óżniczkowe

d²x_n

dt²

⁾- + co²x₀ = 0;

ozwiązaniem tego równania spełniającym warunki początkowe x₀(0) = A oraz £cb(0) = 0 jest

x₀(t) = /łcoscot.

I rozpatrzenia w równaniu (26.68) wyrazów zawierających fi wynika równanie óżniczkowe

d²Xj

df²

+ cu²X! = Gcosot + b ₁x₀ — hxl,

:tóre po podstawieniu x₀ = /łcoscot i wykonaniu prostych przekształceń przybiera (ostać

d²x. ₂    /    3hA³\    hA³

-^j- + cu x, = I G + b_tA--— Icoscof—— cos3a»t.

‘rzyjmujemy dla tego równania zerowe warunki początkowe.

Równanie różniczkowe dla x, rozwiązujemy metodą przekształcenia Laplace’a

}•

otrzymujemy

(s² + oj²)(s² + 9co²)

Eliminacja wyrazu przedstawiającego drgania o amplitudzie narastającej do nieskończoności z upływem czasu prowadzi do równania

_    3M³

G + b_tA---— = 0,

skąd znajdujemy

b t

3hA^:

G

A

W wyniku otrzymujemy

hA

Xj (t) ⁼ — 22 ₂ (cos cut —COS 3ftJt).

Równanie różniczkowe (26.66) staje się równaniem Duffinga przy p = \, wobec tego drugie przybliżenie rozwiązania równania Duffinga wyraża się wzorem

x(t) = x₀(t) + x_l(t),

zgodnie z pierwszym przybliżeniem (26.67), czyli

hA³

x(t) = Acoscot — -^ -₂(coscof—cos3o>t).

Podstawiając wyznaczoną uprzednio wartość do drugiej zależności (26.67), mamy

o² = a>o + -

3M² G ~~A’

czyli

-+\(Oo-a>²)A-G = 0;

3 hA³

(26.69)

w tym równaniu wszystkie wielkości poza A są określone, bowiem są współczynnikami równania Duffinga (26.65). Z tego powodu warunek początkowy x(0) = A nie może być wybrany dowolnie, lecz musi spełniać równanie (26.69), które jest równaniem trzeciego stopnia względem A i ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

26.9.4. Podharmoniczne

Wielkość sinusoidalną o pulsacji n razy mniejszej od pulsacji harmonicznej podstawowej nazywamy podharmoniczną rzędu n. Jeżeli zatem co jest pulsacją