341 (13)

>82 26. Analiza obwodów nieliniowych

mrmonicznej podstawowej, to pulsacja pod harmonicznej rzędu n jest równa co/n. Okres podharmonicznej rzędu n jest więc n razy większy od okresu harmonicznej podstawowej. Podharmoniczne mogą występować w układach nieliniowych.

Zbadamy możliwość wystąpienia podharmonicznych w układzie opisanym przez ównanie Duflinga, które przedstawimy w postaci

(26.70)

d²x

-^2+a>oX + hx³ - Gcos3cof.

⁵rzyjmiemy warunki początkowe: x(0) = A oraz x'(0) = 0. Wprowadzając parametr i do równania (26.70), mamy

d²x

d7

+ <x>oX + nhx³ = /iGcoslujt.

(26.71)

^oszukujemy rozwiązania o pulsacji w, równej \ pulsacji wymuszenia, wobec tego przyjmujemy, że x oraz tu² wyrażają się wzorami (26.67). Wykonując podobne przekształcenia jak w p. 26.9.3, otrzymujemy

₍j2_x

-^2^_ + /r-^j‘ + «y²x₀ — nb_lx₀+fuo²x_l + nhx% = /iGcos3apt.

Równanie różniczkowe dla x₀ otrzymuje się, rozpatrując wyrazy nie zawierające n; namy

r+ <u²x₀ = 0,

d²x

dr

rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki początkowe: x_o(0) = A oraz ó(0) = 0, jest

x₀(t) = /4cosctPt.

Równania różniczkowe dla x, dają wyrazy zawierające /r:

d²x,

"dW

+ cu²x, = Gcos3a>t + b₁x₀-hxl,

kąd po podstawieniu x₀ = Acoscat, otrzymujemy

d²x,    (    3hA³

-jjr + aAc.-lM-—

cosopt+ G

hA^:

cos 3 cuf.

Rozwiązanie tego równania przy zerowych warunkach początkowych wyraża się rzorem

Eliminując wyraz przedstawiający drgania o amplitudzie narastającej do nieskończoności, otrzymujemy

3 hA²

a funkcja x₁(t) przybiera postać

1

hA

x,(f) = —G--— Hcoscur — cos3a»t).

8e^

Drugie przybliżenie rozwiązania równania (26.70) wyraża się wzorem

8co

x(t) = /łcoscuH-

(cos u) t — cos 3a»r).

Rozwiązanie zawiera podharmoniczną trzeciego rzędu, która w rozpatrywanych warunkach jest wielkością sinusoidalną o pulsacji w.

Kwadrat pulsacji trzeciej pod harmonicznej

w² = a>o +

3 hA²

(26.72;

zgodnie z drugą zależnością (26.67). Podobnie jak w p. 26.9.3, warunek początkowy A nie może być przyjęty dowolnie, lecz musi równać się

A = +2

co² — a>o

3/t

jako rozwiązanie równania (26.72).

Wielkość A jest liczbą rzeczywistą, skąd wynika nierówność co > co₀, określająca warunek konieczny (ale nie dostateczny) wystąpienia podharmonicznej trzeciegc rzędu. Wnioskujemy zatem, że w układzie nieliniowym opisanym przez równanie Duffinga może wystąpić podharmoniczna trzeciego rzędu.

26.10. Metoda pierwszej harmonicznej

Odpowiedź ustalona układu liniowego na wymuszenie sinusoidalne jest wielko ścią sinusoidalną, a przy analizie układów liniowych stosuje się transmitancj widmową, której moduł oraz argument równają się odpowiednio ilorazowi amplitui oraz różnicy faz odpowiedzi ustalonej i sinusoidalnego wymuszenia (por. p. 16.9.1

Odpowiedź ustalona układu nieliniowego na wymuszenie sinusoidalne jes funkcją okresową i w ogólnym przypadku zawiera harmoniczną podstawowi wyższe harmoniczne oraz podharmoniczne. W wielu przypadkach wpływ nieliniowe ści jest niezbyt duży i główną rolę odgrywa harmoniczna podstawowa, wobec teg' dopuszczalne staje się (w pierwszym przybliżeniu) pominięcie wyższych harmonic2