48 49 (17)

48

Układy równań liniowych

a) Mamy

1 12-1'			1 1	2 -1
2-11 3	u»2 — 2 u. j - n		0 -3	-3 5
.4 15 1.	*•'3
			0 -3	-3 5

więc wektory są liniowo zależne.

b) Dla drugiego układu wektorów mamy

' 1	2	0	0		' 1	2	C	01		r i	2	0	0]
0	1	-3	0	Dj — *Uj	0	1	-3	0	u. 4 -f 2	0	1	—3	0
0	0	1	6	--rz	0	0	1	6	- rz	0	0	1	6
I	0	0	-4 _		0	-2	0	“^4 .		0	0	-6	-4 _

Rozważane wektory są więc liniowo niezależne.

• Przykład 5 8

Określić wymiary i wyznaczyć bazy podprzestrzeni liniowych generowanych przez podane zbiory wektorów ze wskazanych przestrzeni liniowych: a) (3.2,0), (4, 2,-1), (1,0,-L}_: (1,2, 2) (2. 2,1), R³;

b) wektory kclunmowr macierzy

1	2	-1	n	1
1	4	0	-2	3
2	]	0	l	-i
1	1	2	0	0

c) z² — 2z + 1, 2x² + z — 3, 4x² - 3x - 1, z² — Iz —

, R\

5, Ri[x}\

r^1 -ii		'3 r		■5 -11	[" 2 l^1
U i.	'	0 1	1	i^4 3 J ’	h °J

M.

2x2

Rozwiązanie

Zastosujemy twierdzenie mówiące, że wymiar podprzestrzeni liniowej generowanej przez zbiór wektorów należących do pewnej przestrzeni liniowej wymiaru skończonego jest równy rzędowi macierzy współrzędnych tych wektorów w dowolnej bazie tej przestrzeni Znając juz wymiar podprzestrzeni łatwo jest wskazać jej bazę wybierając spośród generatorów tc wektory, z których powstał niezerowy minor określający rząd. a) W bazie standardowej przestrzeni R~ mamy

’3 4 112	^u3 + **]		3 4	1 1 2
2 2 0 2 2 .0-1-121.	- ■ rz		2 2	0 2 2
			3 3	0 3 3

więc wymiar podprzestrzeni jest równy 2 a jej bazą są wektory (3,2,0), (4,2,-1). Warto tu zauważyć, że dowolne dwa generatory z podanego zbioru można tu przyjąć za bazę b) W bazie standardowej przestrzeni R⁴ mamy

rz

‘ 1	2	-1	0	1 '			r 1	2	-1	0	^11
1	4	0	-2	3	ti/2 — 3 u> j	rz	-2	-2	3	-2	0
2	1	0	1	-1	ti/3 4 tuj		3	3	-1	1	0
. 1	1	2	0	0			1	1	2	0	0.

Piaty tydzień - przykłady

[12-101'	+ **2	5	6 0 0 1
4 4 10 0	«*/j ^ł uz r7 u-4 - 2uó	4	4 10 0
33-1 10		7	7 0 10
11 2 0 0		—7	-7 0 0 0

49

Rozważana przestrzeń ma zatem wymiar 4. Niezeiowy minor stopnia 4 wskazujący rząd zesłał znaleziony jedynie przez operacje elementarne na wierszach macierzy, bez ruszania jej kolumn. To pozwala nam wysunąć wniosek, że np. cztery ostatnie wektory kolumnowe są liniowo niezależne i tworzą bazę badanej podprzestrzeni c) V/ bazie {x², z l} przestrzeni J?2[x] mamy

d) W bazie

f

Rozważana pod przestrzeń jest wymiaru

1 o'		Ol'
0 0	•	0 0

3, jej bazę tworzą np. trzy pierwsze wektory.

0 0 1 0

1	3	5	2 *	U.2	ł **M		‘ 1	3
-1	1	-^1	1	U-J	— 2«kj	rz	0	4
2	0	4	1	*®4	- U/J		0	—6
]	1	3	0				0	-2

przestrzeni Mim mamy

5 2 1		r 1 3 2 2
4 3	fc3 - *2	0 4 0 3
-6 -3	—— rz	0 -6 0 -3
N 1 CN 1		0 20-2.

rz	1    2 4 1 ' 2    1-3-7	— 2 tuj ----- rz		1 2 4 0 -3 -11	, ^1 -9
	1 -3-1 —6.	u>3 - «*' 1		0 -5 -5	-7

Niezcrowy minor stopnia 3 został utworzony z pierwszego drugiego i czwartego wektora, zatem odpowiadające im macierze stanowią bazę badanej podprzestrzeni. Ma ona wymiar 3.

• Przykład 5.9

Wektory u, v, tB, z z przestrzeni liniowej V są liniowo niezależne. Określić wymiary podprzestrzeni liniowych generowanych przez podane zbiory wektorów w zależności od parametru rzeczywistego p :

a)    2pu + 3pv + 5pw. u + pv + (1 + p)tc, pu + P + (1 + p)tc;

b)    3u — pv -f 3u> — pz, u + v -t- w + x, 4i2 -f 4v + pw + pz.

Rozwiązanie

a) Przeprowadzimy analizę rzędu macierzy współrzędnych danych wektorów w bazie u, v w podprzestrzeni lin {ii, v, u») C V w zależność: od parametru p. Macierz ta ma postać

2    P

³    P

_L 5p J + p 1 + p

Jej wyznacznik jest równy 0 dla każdego p. Dla p ^ — l i p ^ 1 wyróżniony wyżej minor stopnia 2 jest niczerowy i rząd macierzy jest równy 2. Dla p = — 1 mamy

‘ 2p 1 p			-2 1	-1
3p p 1	= r2		-3 -1	1
. 5p 1 + p 1 + p .			-5 0	0