506 2

506

12. Rozwiązania zadań

13. (a) y₃ = 1.4265, y_A = 1.6596. wyn i ki dokładne: y(x)= 11(\ — x). y₃ = ^ = \ .42g^ >4 = 3 = 1.6667.

(b)    >3=1.4287, z wzoru Adamsa-Bashfortha >₄= 1.6630, z wzoru Adamsa-Moultona >4 * 1.6670. a po następnej iteracji >₄ = 1.6675.

(c)    W każdej ilcracji poprawkę do >₄ mnoży się przez około ~h(dfjdy)zt(}.\4 (jeśli pominąć skutki zaokrąglania).

§ M

1.    Metoda siecznych daje wartość y'(0)= -0.01833.

2.    (a) Niech będzie x=s}L, y—ufc, z~(2-x²)y". Wtedy powstaje układ

(2-X²) f'mz, r"= -40y+2—x²

z warunkami brzegowymi z(l)=z'(l)=0 i (wobec parzystości) >'(0) = z'(0)=0.

(b) x_{ = i/.V, (i=0, 1, .... AT),

(2 - *?)(*,, - 2y,+y_t+,)-z,/Af².

2|-t- ^ + z,+, = (—40y, -r2—xf)/A'².

Wprowadzamy warunki brzegowe:

Z_j=Z|.    2^ = 0,    Z_{w + 1} = Z_w_j.

Liczba niewiadomych jest teraz równa (jV-i-2)4 A^r, czyli taka jak liczba równań.

(cl Korzystając z N= I i A'= 2, otrzymujemy u (0)=0.045527c. Korzystając z N~2 i .\^r=5, otrzymujemy u (0)=O.G45252c.

(d) Sposób numeracji ł^—jPo, Y_x =z₀. Yi*=y_t, Y₃=z_t, Y₄=*y₂,... al do Y₂n-yi*^ Yzm\=yfi+1 daje macierz o elementach równych 0 dla jp-$j>3.

Uwaga. jV=l daje tak dużą długość kroku, że skutki zmiany /(s) w ogóle się nie ujawniają. Nie jest więc niespodzianką, że pierwsza ekstrapolacja nie daje lepszego wyniku.

3. (a) Używając przybliżenia różnicowego z (7.7.9). otrzymujemy

J₂[(l +U*-ri/*)¹)G^,«+i-y«)-(I +(x_--łA)²)(y_-->_-_₁)]+^>'_a-0.

Błąd wartości >*„ jest 0{h²); to samo zachodzi więc dla A. Dla k— $ otrzymuje się (dzięki parzystości) A, =3.25. u dla /j = $ jest A, w3.496. Ekstrapolacja daje A«3.64.

(b) W^;yrażając warunek y‘ (0)=0 w postaci y_j =y,, otrzymuje się y_s ss0.0244 dla A,-3.50 (po całkowaniu z długością kroku •$) i >>25 —0.0282 dla A, =3.75. Odwrotna interpolacja liniowa (dla wyznaczenia zera funkcji >'3(2)) daje A,*3.616. Dla tego A*