53 (304)

... ■ _ . . , .... 114    Funkcjefzespolone zmiennej zespolonej

Przykład 4.3

Wyznaczyć funkcję holomorficzną /(z) = u(x, y) -f iv(x,y) wiedząc, że:

a)    v(x, y) = 2x7/ + 3x, /(i) = 0;

b)    u(x, t/) — e~^y cosx — 2x, / j = —ir + 2i.

Rozwiązanie

a) Część rzeczywistą u(z,y) funkcji /(z) znajdziemy z równań Cauchy’ego-Riemanna. Mamy

dv    dv

+ - = 2,

Z pierwszego z równań Cauchy’ego-Riemanna mamy

dti dv

d^ ⁼ d^^=2x'

więc

«(*. y) = Jj^^dz = J 2xdx = i* +tp(y).

Funkcję <p(y) wyznaczymy korzystając z drugiego z równań Cauchy’ego-Riemanna. Po podstawieniu otrzymanej fukcji u(x,y) do tego równania mamy y/(y) = —2y — 3, czyli

v>(y) = J V>'

(y) dy = -y² -3y + C,

gdzie C 6 R. Zatem u(x, y) = x² — y² — 3y + C7 oraz

/(z) = x² - y² - 3y + C + i(2xy + 3x).

Stalą C obliczymy z warunku /(«) = 0. Mamy

/(i) = «(0,1) + iv(0,1) = -1 - 3 + C = 0.

Zatem C = 4. Ostatecznie

/(z) = z² — y² — 3y + 4 + i(2xy + 3x) = x² — y² + 2xyi + 3i(x + «y) + 4 = z² + 3tz + 4.

b) Analogicznie jak w poprzednim przykładzie część urojoną t»(x,y) funkcji /(z) znajdziemy korzystając z równań Cauchy’ego-Rjemana. Mamy

du -j, .    du

■X— = — e sin x — 2,    —— = — e cos x.

c/r    ay

Z pierwszego z równań Cauchy’ego-Riemanna mamy

dv du    „

Yy ⁼ di ⁼ ~^e yslnl-²' ¹

Czwarty tydzień - odpowiedzi i wskazówki

115

Funkcję V⁵!¹) wyznaczymy korzystając z drugiego z równań Cauchy’ego-Rienianna. Po podstawieniu otrzymanej fukcji v(x, y) do tego równania mamy p'(x) = 0, czyli ę>(z) ⁼    ,

gdzie C € II. Zatem v(x, y) = e~^y sin x — 2y + C oraz

/(z) = e~^y cos i — 2z + i (e^_K sin z — 2y + C) .

Stalą C obliczymy z warunku / (^) = — *• + 2t. Mamy

/ (i) ⁼ “ (f’°) ⁺ *¹ (f >°) = -* + »(1 +C) = — Jr + 2i,

skąd C = 1. Zatem

/(z) = e^_v cos i — 2x + t (e~^y sinz — 2y + l)

= e^_y(cosz + :sin z) — 2(z + iy) + i = e-^y+i* - 2(z + iy) + « = e^i(,+il'⁾ - 2(z + iy) + i = e" - 2z + i.

Zadania

O Zadanie 4.1

Wykazać, że podane funkcje spełniają równania Cauchy’ego-Riemanna: a)/(z)=e*;    b)/(z) = cosz; c)/(z) = i; d)/(z) = logz.

O Zadanie 4.2

W jakich punktach podane funkcje mają pochodne, a w jakich są holomorficzne? Podać wartość pochodnej w punktach, w których istnieje:

a)/(*) = r7i; *>)/(*) = *( Re*)²; c)/(z) = zeW’; d)/(z) = |z|²e^R“

I« I

O Zadanie 4.3

Znaleźć funkcję holomorficzną /(z) = u(x, y) + it»(i, y) wiedząc, że: a) u(x,y) = 2xy + y, /(-2) = i; b) v(z,y) =    , /(2) = 0;

c)    v(x, y) = e^x sin y + 2y, /(O) = 5.

Odpowiedzi i wskazówki

4.2    a), c) z = 0, /'(O) = 1; b) Punkty osi Re z = 0, w tych punktach /'(z) = 0;

d)    z = 0, z = —2, /'(0) = 0, /'(—2) = 0. Funkcje te nie są nigdzie holomorficzne, gdyż dla żadnego z tych punktów pochodna nie jest określona na jego otoczeniu.

4.3    a) /(z) = —iz² — iz + 3i; b) /(z) = 1/z — 1/2; c) /(z) = e‘ + 2z + 4.

więc

1

(^x<y) = J dy = J (—e~^y sin x — 2) dy = e ⁸ sin x — 2y + 9(2).