74 (76)

Wielomiany I iunkc|o wymierna

3*4.2. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem (I)

Założenie: a ^ O, „v — nazwa niewiadomej.

W równaniu ax + bx + c - O oraz w nierównościach ax + bx + c > 0 (> 0, < 0, O) współczynniki a, h, c \ mogą nie być dane poprzez liczby, tylko wyrażone literowo — poprzez parametr k lub m, na przykład mx^: + (w — l)*-m + 1 =0. Thkie równania czy nierówności kwadratowe to równania i nierówności z parametrem (por. 3.1.4.). W zadaniach dotyczących równań czy nierówności z parametrem postawiony jest pro- \ blem: dla jakich wartości parametru (na przykład) m zachodzą określone warunki, na przykład istnieje tylko i jeden pierwiastek równania ax² + bx + c = 0, czy: prawdziwa jest nierówność: ax² + bx + c < 0 dla x e R.

Rozwiązując takie problemy, należy wyrażone w zadaniach warunki (dotyczące parametru) przeformuło-wać na język matematyczny i tak sformalizowane zależności rozwiązać.

W zadaniach dotyczących równań kwadratowych z parametrem do najczęściej spotykanych warunków pod adresem parametru należą:

Fragment z treści zadania	Język sformalizowany
(Język polski)	(matematyczny)

Lp.

Uzasadnienie

1 ^l-	. . . 1 u / 0 równanie jest kwadratowe równanie kwadratowe ma pierwiastki « | A > 0 istnienie pierwiastków
2.	równanie kwadratowe nie ma <4 I pierwiastków l	a yt 0 równanie jest kwadratowe A < 0 pierwiastki nie istnieją
1 ^3‘	równanie kwadratowe ma dwa różne ^ j u^O równanie jest kwadratowe pierwiastki ** | A>0 dwa różne pierwiastki
1 ^4* i	pierwiastki równania kwadratowego ** j są różnych znaków	a 7^ 0 równanie jest kwadratowe A > 0 pierwiastki istnieją i są różne -g- < 0 ze wzorów Viete’a (por. 3.2.1.) — iloczyn pierwiastków różnych znaków jest ujemny
-1 1 1 ^5-	pierwiastki równania kwadratowego są jednakowych znaków	a # 0 równanie jest kwadratowe A ^ 0 pierwiastki istnieją, a w szczególności mogą być sobie równe ■g- > 0 iloczyn liczb jednakowych znaków jest dodatni — wzory Viete’a
1 6. 1 — ■	oba pierwiastki równania «=» kwadratowego są dodatnie	a / 0 równanie jest kwadratowe A ^ 0 pierwiastki istnieją, a w szczególności mogą być sobie równe ■jj- > 0 iloczyn liczb dodatnich jest dodatni — wzory Viete'a —j > 0 suma liczb dodatnich jest dodatnia — wzory Vićte’a

a# 0 A > 0

7.

oba pierwiastki równania kwadratowego są ujemne

-£<0

równanie jest kwadratowe

pierwiastki istnieją.

u w szczególności mogą być sobie

równe

iloczyn liczb ujemnych jest dodatni - wzory Vićtc’a

suma liczb ujemnych jest ujemna wzory Vićte*u

suma odwrotności pierwiastków równania kwadratowego jest na przykład liczbą większą od I

równanie jest kwadratowe

pierwiastki istnieją,

a w szczególności mogą hyc sobie

równe

sumu odwrotności ze wzorów Vićte'n jest liczbą większą od >

O