CCF20090421000 (3)

GRUPY PUNKTOWE

Iloczyn dwóch operacji symetrii daje trzecią operację symetrii.

Każdej operacji symetrii przypisuje się charakteryzujący ją element symetrii, zatem obecność dwóch elementów symetrii implikuje obecność trzeciego elementu symetrii.

Oznacza to, że operacje symetrii (przekształcenia) występować będą w zespołach zwanych grupami.

Podstawy teorii grup

Grupa • zbiór elementów (Zj= {z,,z.,z_;,. } diaktóiego określone jest działanie ( o ) i spełnione sąd poświaty grjpous i- postulat przy pcrią dko wanta    ^ Z^Z. =2.; Ł_} ć {Z}

it

2- postulał ifczoośd /\	Z^(2	i - 2.) = (Z -i,
{2|
3- poaoilfci elonenui neuLralnt^o	V	A C-2. = 2^; =
{jednostkowego)	t*iZ) i	itiZ;
4- postulat eremam; udwT&tbego	A	v 1-2"^5 i'£iżi

Rząd grupy - odpowiada liczbie elementu w^: tworzących */upę Mogą istnieć grupy nieskończonego r2ędu

i A Jiy ra».-rzy k-ri:cx    i

Grupa przemienna (Ahelowa) - grupa w której działanie jest przemienne A ^Zi^CZ2^=Z2°^Zl		Najmniejsza z możliwych liczba naturalna n = {). 2. ó j spełniająca warunek 7^D a.
Grupa cykliczna-grupa, której wszystkie elementy można wyprowadzić poprzez wielokrotne działanie na jednym elemencie A Zi = ZIoz1cZlc....= 21 = zS z, ;z,e{Z» v^-'		nazywa się rządem elementu z jeżeli element z nie posiada takiej liczby lu nazywa się elementem nieskończonego rzędu
Generator grupy (zbiór tworzący grupy) - nąjnuiićjsz> możliwy zbiór elementów, z klórego poprzez działanie grupowe można wyprowadzić wszystkie pozostałe element>' danej grupy -utworzyć pełną grupę. Dla grupy cyklicznej zbiór tworzący jest jednoelementowy.
Ł A kytussyk-f.itk 1		i A £jutćżjk'?.:a

Przykładowe grupy

Zhiór liczb całkowitych: C={...-2_l-l,0_łl >2,_} oraz działanie

dodawanie

1)    postulat przyporządkowania -ikda-^trić dwóch luzu całkowitych da w wyniku zawsze Ucztę całkowitą

2)    postulał lącz&tiści - przy dodawaniu irzach liczi iue ma znaczno ia kolejność wykonania operacji (dodawanie spełnia posiuial łączności)

3)    posmiai elementu seitiraJntgo - dla operacji dodawania elementem jednostko wy te jest 0, ponieważ dodanie 0 do dowolnej liczby me zmienia rtętaiAr⁷~i-=-Pfi wyniku

4)    pnaulai elementu oawrotuego -eienwsucin cdwiolnej każdej liczby całkowisj jest liczba przeciwnego znaku ponieważ tch suma daje w wyniku eiemefii jednostkowy

Jest ta gnipa nieskończonego rzędu, przemienna, niecykliczna, zbiorem tworzącym jest {-Ijl }

i.    5

Zbiór (1,-1, i,-i) ( i=-.'-l j oraz dzi&iuuc muużc&ic

11 postulat przyporządkowania - ir.ozna

SptewOZiC v.ykułii_jtaC-e.ę llZlalaliia

grupowego

2) postulat łączności - przy mnożeniu irzeer. liczb rue ma znaczenia kolejność wykonania operacji (mnożenie spełnia postulał łączności;

3    j posuiici eitmenai ceutralntgo - dla operacji mnozerua elementem jednostkowym jest 1, ponieważ mnożenie przez 1 dowolnej liczby nie zmienia osutecznego wyniku

4    J pośmiał elementu odwrotnego - element odwiomy dla każdego elementu grupy można larwo 2deijni0W4łć na postawie tabeli grupowej (naiezy sprawdzić kiedy w wyniku dz.aiar.ta otrzymuje s.ę elemeni jedn całko wyj

	i	-i ł -i
1	i	•i ’ i , i
-i		i i; -i	i
i	.	•■i-^1	i
-i	-i	‘ i ^1

Jcil u,

przeir.łcfuiŁ Cjki;cz'.i, zL-iuiem irtOiŁCjij.T. _lw