img350

D4.12. Dla każdych dwóch macierzy symetrycznych A i B typu (w. n), gdzie macierz B jest dodatnio określona istnieje macierz C taka, że:

C^tA C - L oraz C^TB C = / , gdzie L jest macierz*) diagonalna

X, 0    ... 0

L =

0 ^ 0

o o ... x„

czyli dla danych macierzy A i B macierz L jest jednoznacznie wyznaczona. Liczby X_t, ^.....X„ można otrzymać także jako rozwiązania równania chara

kterystycznego

W - X/?l = 0    lub    lAB~^[ -11 = 0;

sa to wartości własne macierzy AB~¹.

Dla każdej wartości własnej \ macierzy AB istnieje wektor własny .r, taki. że A x, = X, B X;    oraz    xf B x_{= 1 .

Gdy X, * X, wtedy x[ B X; = 0.

Dla macierzy A i B zachodzi) równości:

H

tr (AB ^-1) = Z X, .

1=1

n

iAB-'i=n\ .

Im |

Jeżeli macierz A jest dodatnio określona¹, to wartości własne równania

Ax = XRr

350

1

macierz R jest z założenia dodatnio określona