CCI00055

Zależność między dwiema zmiennymi, z których co najmniej jedna jest jakościowa

Jeżeli co najmniej jedna z cech jest niemierzalna (jakościowa), to badając związek tych cech ze sobą posługujemy się najczęściej testem niezależności %². W teście tym hipotetycznymi prawdopodobieństwami są oszacowane z próby prawdopodobieństwa otrzymania równocześnie określonej wartości (kategorii jakościowej) cechy X oraz Y, przy założeniu niezależności tych cech.

Wymogiem tego testu jest duża liczebność próby, której wyniki są rozdzielone na odpowiednie grupy wartości (kategorie) ze względu na obie cechy jednocześnie. Sporządza się zatem odpowiednią tablicę kombinowaną dla dwóch cech, zwaną tablicą niezależności o r - wierszach i s - kolumnach, która po wypełnieniu daje macierz liczebności empirycznych. Nakłada się na nią macierz liczebności teoretycznych, obliczonych przy założeniu niezależności cech w główce (znajduje się tu s grup wartości cechy Y) i boczku (są tu r kategorie cechy X).

Porównanie elementów obu macierzy statystyką %² daje odpowiedź, czy można odrzucić hipotezę o niezależności cech na skutek wystąpienia zbyt dużych różnic liczebności empirycznych i teoretycznych. Test niezależności %² wygląda następująco. Z liczebności brzegowych (wyliczymy je sumując wiersze i kolumny otrzymanej z próby macierzy liczebności empirycznych i oznaczamy n, oraz n.j) szacujemy prawdopodobieństwa brzegowe według wzoru:

p_s -    ,p. -    ' . Zachodzi również równość: n_j = Z n_iJt n _/ = Z n_jJ, czyli

« = Z Z ⁿv ⁼ Z ⁼ Z ⁿ,i > warunek ⁿy £ 8

i=\ 7=1    i=\    7 = 1

Następnie, zakładając prawdziwość hipotezy Ho (niezależność cech) obliczane są dla każdej

r s

kratki tablicy prawdopodobieństwa hipotetyczne: Pij=Pi.p.j, ale Z Z p« = ¹

/=1 7=1

Mnożąc te prawdopodobieństwa przez ogólną liczebność próby otrzymujemy macierz liczebności teoretycznych (npy). Z elementów obu macierzy tworzymy statystykę :

^ ^ \ji — fip. V

X² ~ Z Z ''-¹¹ ~~ ■ ^ tablic odczytujemy wartość krytyczną dla. ustalonego z góry

«=1 7=1 ⁿPj

poziomu istotności a i dla (r-l)(s-l) stopni swobody.

Porównujemy obie wartości i jeżeli zajdzie nierówność j² > Xa ^t0 hipotezę Ho o niezależności badanych cech należy odrzucić (zmienne są zależne);

w sytuacji przeciwnej nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o niezależności cech (zmienne niezależne).