chądzyński6

i=i

182    11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE

ti 4- ■ • • + t_N = 1. Stąd, na mocy wypukłości funkcji u w A {x°,r), mamy u (x) < t\U (a;¹) H-----h t_Nu (x^N). W konsekwencji

(4)    u (x) < M dla x £ A (x°, r),

gdzie M = max (u (ar¹),..., u (x^N))-

Pokażemy teraz, że dla dowolnego x £ A (x°,r) mamy

(5)    |u (x) — u (a;°)| < (M — u (x°)) |a:⁰ — x\ /r.

Możemy założyć, że x ^ x°. Z (2) dostajemy

(C)    u (x) — u (x°) < a (M — u (x°)),

a z (3) dostajemy

(7)    u (x°) — u(x) < a (M — u (a:°)).

Z (6) i (7) mamy (5) i w konsekwencji ciągłość funkcji u w punkcie x°. To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 12. Niech G C C będzie obszarem wypukłym i niech u : G —► IR będzie funkcją wypukłą. Pokazać, ze u jest funkcją subharmoniczną.

Rozwiązanie. Z zadania 11 wynika, że u jest funkcją ciągłą. Zgodnie z twierdzeniem 1.65.2 (c)=>(a), wystarczy pokazać, że dla dowolnego a £ G i dowolnego r £ (0, dfa))

27r

(1)    u (a) <    [ u (a + di,

2tt J o

gdzie d(a) oznacza odległość o od C \ G w metryce sferycznej.

Niech n £ N, n > 1. Połóżmy := re^ⁿⁱ^, j = 1,..., n. Łatwo

sprawdzamy, że Ci 4----+ (_n = 0- Stąd oraz z wypukłości funkcji u

mamy

(2) ^w (^{a +} 0) ^ ^u (^a) •

7=1

Z drugiej strony, w myśl uwagi 1.18.1, dostajemy

1 ²/ 1 _xⁿ

(3)    — u (a + re^lt) dt = lim - it (a+ £.■).

27r J    ^v    '    n—oo n ^

Z (2) i (3) dostajemy (1).

To kończy rozwiązanie.

□