DSC07062 (3)

60

Granico funkcji

OtnymMlOmy róŁtm warto** ****** «nuika

lim <"*iin5Łr

m-~—aa

nie istnirje

i)XW,,;..-i«u*:»»+idU-^,eN. WKdy Jto «t =■*““ .1™ *:

_Km $§Ś -    " ⁴⁾ - a"^e" " = a- = a

Zalctw

Podobnie

^a'*⁽'⁺    =/*•'= 3-= ~.

i »e*

Otrzymaliśmy róine wartości, wi*c granica lim 2* * ^{nk ł}*^lruei^c-

h) Niech x; Żalem

— — ora* Xą n

1 + - dla n € N. Wtedy lim x« = 1, lim x" = I.

jg    B“*6B    B”**®

ten [(*;)’-1] =Um. «> [(\A"I) ”^l] ^m£SL^Hn (“n) = J£Ł⁽“^{,) L}

Podobnie

Jim *ęn |(łU)^ł — 1J = Iixn^ sgn

* lim sen (= lim 1 = L

»-OO \n/ (l-HO

Otrzymaliśmy mmc wartości, więc granica Um sgn (x^J — l) nie istnieje.

»—i

Przykład 2.5

Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy Istnieją podane granice:

^^fry: ^ł*>B2je~ⁱ: eJUpj^); d)

HBnśyank

Warunkia bwcniym i wystarczającym na to, aby funkcja miała granicą właściwą (niewłaściwą) w punkcie jeat istnienie i równość jej granic jednostronnych. Wspólna wartoić granic Jednostronnych Jest wtedy granicą funkcji.

•) Dla granicy lewostronnej i prawostronnej mamy Odpowiednio

fan £±I »— i- x - 1

2

0“

* -oo«

Imi

i—«*

+ I

-1

_2_

Ot

Poniewar granice Jednostronne są róine, więc badans granica nie Istnieje, b) Dla granicy lewostronnej i prawostronnej mamy odpowiednio

Przykłady

61

Ponieważ granica Jednoalroiroo funkcji są rótne, wije badana granica nie istnieje, c) Dla granicy lewostronnej mamy

lim x£(x)

•—o-

Dla granicy prawostronnej mamy

lim (x(-l)) b — lim xa 0. ł—o~    »—o-

Um xE(x) lim (* • Ó) « lim 0 = 0.

,—o* •    •    *—o*-'    «—o*

Ponieważ granice jednostronne pokrywają fiiij więc badana granica istnieje I jest równa

wspólnej 'wartości granic jednostronnych, czyli 0.

d) Zauważmy najpierw, że dla 0 < x < 1 mamy 1 — x⁹ > 0 oraz x* — 1 <0, zatem sgn (l - z") =* 1 oraz sgn (x³ - l) = -l. Podobnie, dja x > 1 mamy 1 -x⁹ < 0 oraz x³ — 1 > 0, zatem sgn (l — x⁹) .= —l oraz sgn (x* — l) = 1. Przechodzimy teraz do obliczenia granic jednostronnych. Dla granicy lewostronnej marny

„ sgn(l-x⁹) „    1

lim -7-3—rr = lim

■—i- sgn (x^ł — 1}    ■—i- —1

a dla granicy prawostronnej

„ «gn (l -i⁹)    -i _ ,

lian -——rf = lim. -r- m -1.

a—l* sgn (x* — l) a-i* I

Ponieważ granice jednostronne są jednakowe, więc badana granica jest równa ich wspólnej wartości, tj, — 1.

Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

Przykład 2.6

Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć podane granice:

a) lim

x³ - ar -f * _ i

iz^+^-z-r

»\    y/x-10³

_g) u_m

*—} cosx

b) lim

yr+z-

e) lim x³arcctg-;

t-O*    ^x

h) lim

x——oo

v*+x + 2

^c)^-7rr?-'

* s-o shx

25*-9*

Rozwiązanie

a) lim K-~^X,+Z~ i ■■ »^łtx-l)-f (*-» —i- Si iy.D+^łrrj

+ 1

= Um

atz-iKzżT

2*

b) lim ■—o

yr+^-yrr;

X