DSC07065 (4)

66

Granice funkcji

• Przykład 2.9

Mice •t śUIŚi *>."3a5S^:	b) Jin|	cosz
		w-2*’
^1 *“*0 igi	e) lim r—00	/3i-ł-5'
11111	H) lim «—0*	tg*vC i *

r*J

Rozwiązanie

_ łmSr

t .. I - cos a:

r) lini

cos⁵ 5i • cos¹⁷17*

* " j cos⁹ 9x • cos¹³ 13x' 2* — x⁷

I*) lin;

>ii-2

*-onn3r *—o- dn3x 3-|    3

3x

KormtalSmy lulaj z tównafci lim = I. Również w rozwiązaniach przykładów b), ... .    .. o U

c) 11) wykorzytUmy tę równoid

b) Cm

S|r-2ż

SST

= lim *-o

fei

w

—sin u = Um —-—

•—o —2u

1 dnu _ 1 BR

“S&—Ir¹-?

c) Em — i    = Em

»-• r »-o

**

(**V\ - i ,1-¹

-f) * -2-

d)    ■2g_T-^-~g-2.

Big I

KorzmalKriiy tutaj x równożcł: lim — = 1, lim = l-'    *    »    fi&jO, U W-0 'U

-i

« &{%£)'"pip*= j[

*“ JWl ■

KnnytuIMmy tutaj * równości Jhn^ (* ⁺ ”) ^{a e onz} twierdzenia o granicy potęg.

Przykłady

67

O Aby uprościć obliczenia granicy dokonamy zmiany punktu granicznego z | na 0. Mamy

lim

cos* 5z • cos¹⁷ 17*

~ 5 coś⁹ 9x • eon¹³ 13*

■ _}tjn (»in 6t)° • (gin 17Q¹⁷ “ '-o (8inOO^w-(«ln l3t)^w

Ltiiga

o • ■» i!_m \ at / \ 17Ł i 0° • I3¹³ i-o7ain0t\⁹ /gin 131^ \ Ot M 131 )

5^ft • 17^,T I*-!¹

6⁹ -17^IT

g) Mamy

.. lnC3*-H) .--co In (3' 11)'

lim

9* • 13^,s ’ 1* • 1'*    9* • 13^,s |

In (1 + 2*)

V Z.pP= l-ob^oe.

In(t + 3') \3/    1

Korzynlollśmy lulaj z równości:

lim 2* = lim 3^T= 0, lim 1~^u). _g \ oraz    linl (?) =

■—-eo    »—*0    :.U>    ,

h) Mamy

lim -^{ł Y}-- « lim ,^•0*-    *    •—o*

HH

Korzystaliśmy lulaj z równości podanej w przykładzle-d). i*) Mamy

lim

2*-*

⁵ , (2* —“*0

SH5SI! a lim

a * - 2 i-a

-2

= lim

2* -4

x^a -4

■■■■i _n —Jftń .- BI «-a x - 2    *-a *-2

-1

(r + 2)(i-2) _ss4._bl2-4=4(ln2-l).

ff ⁴\H3“T^^r ]-»

Korzystaliśmy tutaj z równości* Hm — ^ba* 8*¹**⁶ ° ^>