DSC07084 (3)

98

Pochodne funkcji

Dość plasku prarnksaona przrz taśmociąg w czasie Ł (min | jest równa V = wt. Z drugiej strony

V = irfi^OHW-

Jednakie A(C) = tf(t) ctgo. Stąd otrzymamy

_Wf=|ctg^aaif^,(£).

Szybkość, z jaką zmienia aę pole obszaru jest pochodną funkcji opisującej tę wielkość, obie strony ostatniej równości względem t otrzymamy

U- = *ctćoH³(t)H'lt).

Zatem

v =«'(£)

. ac»oJPW

Przyjmując w tym wzorze w = 1 [m^,/min]_ł q= j oraz //(*) = 3m otrzymamy

«r = ~ as 0.035 [m/inin |.

b) Niech r(f) oznacza promień fotografowanego obszaru (kolo) w chwili t ^ 0. a H(t) wyaohaŁ na której znajduje się balon w tej tkał (rysunek). Wtedy

r(C)= H(C)tgo-

Stąd pole fłmro wyraża się wzorem

S(«)

Różnirricojąc obie strony tej równości względem t otrzymamy

S^t) - 2*t^ałHt)łt{f)-

Ponieważ fl^(t) = w, więc podstawiając //(f) = 300 m otrzymamy

S'(f)=2»t«^J3^»» 3-600₅r[mV*].

c) Niech AT(f) oznacza przyrc-t temperatury fcnstki do chwifi i. Z warunków zadania srynfla, ze AT(f) » jg (MO - 20> = lOf. gdzie 0 * t < 10. Ponadto niech a(<) i V{0 <w»errają odpowiednio dhaftość krawędzi i objętość kostki w chwili t. Ponieważ przyrost dhpśri krawędzi kratki zależy Knfcwo od przyrewtu temperatury, tj. Ao ■ oA AT. więc

o(f) *«>nAAT(f) *5 + 5-16-10'^# • 101.

Stąd

Przykłady

99

Szybkość, z jaką zmienia się dana wielkość, jcsl pochodną funkcji opisującej tę wielkość. Zatem szybkość zmiany objętości wyraża się wzorem

V\t) =240-10'* (5 + 5-10-10"* •i)³.

W chwili <o=8 szybkość zmiany objętości będzie więc równa

V\8) = 240 • 10“^a • (5 + 5 • 16 • 10'* • 8)* = 0,0615 [cm*/mm] .

Pochodne jednostronne funkcji

• Przykład 4.7

Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

_ J xarctgi dla z,ćO, 0    dla x = 0,

x₀ = 0;

a) /(*) =

b)<?(*) =

X² + x +1 dla x>l,

3x®    dla x<~i,

c) /i(x) = X² + lar² - 4|, x₀ = 2; d) p(x) = |x-7r|sinx, x₀=z.

Rozwiązanie

Pochodne jednostronne funkcji / w punkcie aro określamy wzorami:

x-aro

/_(*„) lim    IB ^ lim m-m..

-    X — XQ    -

Pochodna funkcji w punkcie istnieje, gdy pokrywają się jej pochodne jednostronne w tym punkcie.

a)    Istnienie pochodnej funkcji / w punkcie 10 = 1 zbadamy porównując pochodne jednostronne. Mamy

yl(l)= lim ^ ~ P>¹^ = lim 55lz5=3. lim (*^a + *+l) =3-3=9. Funkcja x⁷ + x + 1 ma pochodną właściwą na przedziale (l,oo). Zatem /i(l) =(*’+* +1)'^ = (2i + t)|_ł__i=3.

Ponieważ /i (i) =£ /+(1). więc /*(l) nie istnieje.

b)    Pokażemy, że funkcja g nie ma pochodnej w punkcie 10 = 0. W tym celu obliczymy pochodne jednostronne lej funkcji. Mamy