DSC07091 (5)

112

Pochodne funkcji

Pochodne /(z), /'(ar) w punktadi z ^ 0 obliczamy korzystając z reguł różniczkowani* ą pochodne /(O). /'(O), /"(O) korzystając z definicji. Mamy (.-z³)/ = -3x³ dla z < 0

oraz (x^3)' = 3z^3 dla z > 0. Ponadto
« Urn ■<• |„„ jjfl	— lim z^3 = 0
a-0- -i*-Q x-0“ Z	x—o-
oraz
A(0) M lin. MzlffiiiiS iim ^1 ° =	lim z^3 = 0,
r—0* Z —0 ,-0* i
stąd /(O) =s 0. Mamy zatem
f -3x^3 dla z < 0,

/(*) = < 0 dla z = 0, 1 3x³ dla z > 0.

Postępując podobnie z / otrzymamy

/ -Oz dla x < 0,

/"(*) = ' 0 dla z = 0,

{ Oz dla x > 0.

Pochodna /"(0) nie Istnieje, bo podiodne jednostronne /"'(O), /+'(0) nie pokrywają się. Mamy bowiem

r-'(0) ^ Urn Mm lin,    = _a

*—o-    *—o-    z

/T(0) S lim    ■

*—o*    z —0

S li,., r_M-r(0) są |_im M5£_==c.

*—O* z

d) Mamy

/(*)

f z⁴ dla z < 0, = )0 dla z s= 0, [ sin⁴ z dla * > 0.

Pochodne /, /’ na przedziałach (-oo,0), (0,oo) obliczamy korzystając z reguł różniczkowania. Dla x < 0 mamy

/(z) = 4x³,    /'(z) == 12x³,

a dla x > 0

/(*) = 4sin³zco6z, /'(i) = 12aln^azcos³z - 4 sin⁴ z.

Ponadto mamy

/■lis

as

Przykłady

113

dla * < 0, dla ± «s 0, icosz dla x > 0.

H

\ 4*in*

Żalem

/(*) =

Postępując podobnie otrzymamy

12#

ćffim °

dla x < 0, dla x = 0, 12 sin¹ x cos^a x - 4 Bin⁴ % dla x > 0,

Obliczymy teraz fT(0) oraz /^(Ó). Mamy

x = 0

•*)-o

• |T podanych

r(ó) S Um    u_m    U»

*-0*    X — 0    I —0“ X    g—0^-

oraz

/"(0) ^ lim rw-rw Jgo _|hn (»«in^,x_OM^łx-4ń. *-o*    x —0    _x_o‘    i-

⁼ '^l.!io*[³(^^£)^!d,,IC“^,i-(^!!r)^ń’^,i]=⁰-

Ponieważ /i"(0) = /"'(0) a 0, więc takie /"(0) = 0.

• Przykład 4.18

PunUeja / ma pochodne do trzeciego rzędu włącznie. Obliczyć ]/ funkcji złożonych:

ą)ff-7(^lS): ^b) » = /(«*); ^c)»=/0):

Rozwiązanie

a)    Mamy y (*) = [/ (**)]' = / (x^a) . 2x oraz

= N7,(.^s)J^v=a^(_x«)_+ir(_ł»)._2ł]i

»'"(*) = 2 (/'(*’) +2xY'(i^J)]'

= 2 [y" (*’) - 2* + 4x/" (,») + 2,^. (*,). ^

= 4x[3r(x») ₊ 2x>r^)J;. •

b)    Mamy »'(*) -= 1/ («'))' = / (e*). _c*

jgg|g| +'^ur {*■)'•

»"(x)    (a*)]' = eW) ₊ .YV>.*

»"'{*) | [«*/'(«*) + e^J*/"(_e«)]'

= «*7(i*)_+eV"(«-_)e._+2eu_rCe.₎

“ '*/ ('*) + 3e’*_/«₍,._{) + c}„ _{r (e>)}