DSC07097 (5)

5

Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi

Przykłady

Twierdzenia o wartości średniej

• Przykład 5.1

Sprawdzić, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle’a na _prae.

dziale |-1,1 j-

»)/<*) = *(**-1):    b) g(x) = 1 —    c) h(x) = (|*|-l)².

Rozwiązanie

Funkcja apdnu założenia twierdzenia RolIc’a, gdy jest ciągła na przedziale domkniętym, ma pcdudaę we wnętrzu tego przedziału oraz jej wartości na końcach przedziału są jednakowe.

a) Funkcja /(z) = x (x³ - 1) jest ciągła i ma pochodną właściwą na przedziale (-Ml* bo jest airinmiani iii. Ponadto /(-1) = /(I) = 0. Funkcja / spełnia zatem załośenla twierdzenia RołJe* na przedziale |—1, Ij,

l

Przykłady

125

b) Funkcja *(*) = l - $£» jest ciągła na przedziale |-1,1|. Nic ma jednak pochodnej F^dziale (-1.1). bo g'(0) nie istnieje. Mamy bowiem §\(0) = -oo, g'-(0) = co. Z powyższych faktów wynika, że funkcja g nie spełnia założeń twierdzenia Rolle'a na przedziale |-1,1|.

'»(*) = (|x|-l)² =

f (* + !)* dla *<0. \ (x-l)^a dla x £ 0

jest ciągła na przedziale (—1,1|. Nie ma jednak po-chodnej na przedziale (-1,1), bo h\0) nie istnieje. Mamy bowiem

*+(0) = 2(x - 1)|„, = -2, hL(0) = 2.

Zatem funkcja h nic spełnia założeń twierdzenia Ifollc'n na przedziale (—1,1).

• Przykład 5.2

Zastosować twierdzenie Lugrnngc’a do podanych funkcji na wskazanych przedziałach. Wyznaczyć odpowiednie punkty:

•) /(^x) = arcsinx, |—1,1|; b) g(x) = lnx, |l,e).

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od sformułowania twierdzenia Lagrange'a: jeżeli funkcja / jest ciągła na przedziale domkniętym [a,6] oraz ma pochodną na przedziale otwartym (o,6), to istnieje punkt c € (a, 6) taki, że

llOTp

a) Funkcja /(x) = arcsinx jest ciągła na przedziale domkniętym (—1,1| oraz ma pochodną /(x) = _1== na przedziale otwartym (-1,1), zatem spełnia założenia twier-VI — x²

dzenia Lagrangc'a. Teza tego twierdzenia dla funkcji / ma postać

Varcsinl —arcsin(—1)    ,    . .#

, czyli e

-FI

lub cs