DSCF6535

26

granicach. Dla szczególnego przypadku g(x) = x, wartość oczekiwana zmiennej losowej X o gęstości f(x) jest nazywana średnią z gęstości f(x), albo średnią z rozkładu i oznaczana symbolem x, <x> lub p:

111 |tt| i Ki    (2.5)

— 00    — CD

dla rozkładów ciągłych, oraz

31BI i B i I ASI ifi = if<^xi (2-6)

_Ms/=l    <=i    (=i r-i    1=1

k

dla rozkładów dyskretnych. We wzorze (2.6) n = £n, oznacza całkowitą

i

liczbę przypadków, k - liczbę klas, n_t jest częstością bezwzględną, a /, = njn

k    !

- częstością względną występowania wartości x. (oczywiście Yfi ~ !)•

i

Wartość oczekiwana funkcji g(x) — (x — p)² nazywana jest wariancją rozkładu /(x). Wynikiem działania operatora wariancji V na funkcję jest liczba:

V[x] = c²x = E[(x - gg | ąx² - 2fix + Ę = E[x²] - n² (2.7)

Dodatni pierwiastek z wariancji, c = nazywa się dyspersją, albo odchyleniem standardowym. Podczas gdy wartość oczekiwana określa położenie rozkładu, dyspersja jest miarą „rozmycia” rozkładu w przetrzeni x. Wartość średnia opisuje składową statyczną danych, a wariancja - ich składową dynamiczną. Analogami mechanicznymi obu parametrów są odpowiednio: współrzędna środka masy i moment bezwładności. Wariancję obliczać będziemy ze wzorów:

a² = jf(x)(x-x)²dx (rozkłady ciągłe)

⁰ (2.8)

H = S *)² (rozkłady dyskretne)

Q

2.2.1. Przykład (obliczanie wartości przeciętnych)

Obliczmy wartości oczekiwane dwóch rozkładów (bardziej szczegółowo rozkłady te omawiane są w rozdz. 3). Wstępnie sprawdzamy normowanie:

rozkład równomierny

fl/b — a);    ...    li.*,

ffec) = <    ; rozkład jest unormowany: r—-Jax = l,

{ 0; poza tym    b — a_a

,, . 1 . _    1 *_r I a + b

wartość średnia; x = --1 xax = —-—*

b=*a;    2

rozkład wykładniczy

aj e~^axdx = 1; o

f(x) = ae~^ax; x > 0 sprawdzenie normowania: 00

wartość średnia: x = a J e~^axdx = a^-1.

o

2.2.2. Przykład (wariancja rozkładu równomiernego)

Obliczmy teraz wariancję rozkładu równomiernego na podstawie (2.7): <T² = jY(x)(x - S)²dx = J/(x)(x² - 2xx + x²)dx = f/(x)x²dx - 2x J x/(x)dx + + x² ]f(x)dx = X² — x². Wykorzystaliśmy tutaj wcześniej wprowadzone związki: \f(x)dx = 1; J xf(x)dx = x, a także J x²f(x)dx = X², wynikający z (2.4) dla g(x) = x². Ponieważ wartość średnią znamy z poprzedniego przykładu, pozostaje obliczenie średniej kwadratowej: X² = Jx²/(x)dx =

¹ r_v2_A^. a² + ab+ b²    ,    ,    (a-b)²

3

12

— _b__a)^x ax -----Mamy więc: a² = x² — x^z = —:--