PRZESTRZEC
AFINICZNA
Definicja 1.

X - zbiór X `"" X - przestrzeń wektorowa nad ciałem K

+ : X � X X

X , X ,+ nazywamy przestrzenią wektorową jeżeli zachodzą:
()

1.
" x + 0 = x
x"X

2. " "! x + v = y

x, y"X
v"X

3.
" " x + v + u = x + v + u


( ) ( )
x,"X
u,v"X
Definicja 1.

X , X , + - przestrzeń afiniczna
()
X - zbiór punktów tej przestrzeni afinicznej

- przestrzeń tą nazywamy przestrzenią wektorów swobodnych w
X
przestrzeni afinicznej

dim X = dim X

x + v = y to v nazywamy wektorem zaczepionym o początku w punkcie
a końcu w y i oznaczamy:


v = y - x = xy
PRZYKA
AD 1.
X = 2
(zbiór punków na płaszczyz
nie)


X = 2
y

v
x
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 5 Część 14 - Przestrzenie afiniczne
Wniosek:

przestrzeń afiniczna to
X , X ,+
()


1. x + y - x = y


2.
x + v1 = x + v2 => v1 = v2

3. x1 + v = x2 + v => x1 = x2


4. xy + yz = xz


5.
xy =- yx
Definicja 2.

dim X = n
przestrzeń afiniczna
X , X ,+
()
B = e1,e2,...,en - baza
()
X
00 " X
To zespół:
00,e1,e2,...,en - nazywamy układem współrzędnych z przestrzeni
()
afinicznej. Ustalony punkt to początek układu
współrzędnych.
UWAGA

X , X ,+ - przestrzeń afiniczna
00,e1,e2,...,en
() ( )
x
00


"! : 00 + v = x v = 00 x = x1e1 + x2e2 + ...+ xnen
(1)
v"X
Definicja 3.
x := x1, x2,..., xn - punkt
()
liczby (1) nazywamy współrzędnymi punktu X
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 5 Część 14 - Przestrzenie afiniczne
Umowa:
x1, x2,..., xn = x - punkt
()
x1, x2,..., xn = v - współrzędne wektora
[]
Wniosek:

X , X , + 00,e1,e2,...,en
() ()
1.
x = x1, x2,..., xn y = y1, y2,..., yn
()
()


xy = x00 + 00 y = 00 y - 00 x = y1 - x1, y2 - x2,..., yn - xn,
[ ]

2.
x = x1, x2,..., xn v = v1,v2,...,vn
()
[]

x + v = x1 + v1, x2 + v2,..., xn + vn
()
Definicja 4

Y �" X ,Y `" "
przestrzeń afiniczna
X , X , +
()


Jeżeli istnieje podprzestrzeń przestrzeni taka, że:
Y X


1.
" xy "Y
x, y"Y

2.
" " : x + v "Y


x"Y
u"Y


Y,Y, +
to nazywamy podprzestrzenią afiniczną
()
Definicja 5 Równanie parametryczne (pod)przestrzeni afinicznej.

x0,e1,e2,...,en
przestrzeń afiniczna
X , X , + ( )
()


x " X
x0x " X <=> x = x0 + t1e1 + t2e2 + ...+ tn en (2)
załóżmy, że
i = 1, 2,3,..., n
ti "
to:
x0 - punkt początkowy
e1,e2,...,en - wektory kierunkowe danej przestrzeni.
(2) nazywamy równaniem parametrycznym
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 5 Część 14 - Przestrzenie afiniczne
Definicja 5




I) Dana jest przestrzeń wektorowa i
X
dim X = n
1) Każdą jej podprzestrzeń n-1 wymiarową nazywamy
hiperpodprzestrzenią.
2) Każdą podprzestrzeń dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną
wektorową.
3) Każdą podprzestrzeń 1 wymiarową nazywamy prostą.
II) Dana jest przestrzeń:


i
X , X , + dim X = n
()
1) Każdą jej podprzestrzeń n-1 wymiarową nazywamy
hiperpodprzestrzenią afiniczną.
2) Każdą podprzestrzeń dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną afiniczną.
3) Każdą podprzestrzeń 1 wymiarową nazywamy prostą afiniczną.
Wniosek:

Rn, Rn, +
()
Dane:
o o o o o
�ł
x = x , x ,..., x�ł �ł�ł
x,e1,e2,...,en �ł
1 2 n
�ł�ł �ł
�łłł �łłł
o
x = x+ te1 +� e2 t,� "
1) równanie płaszczyzny afinicznej
o o
2) x,v x = x+ t v równanie prostej afinicznej
PRZYKA
AD 2

R5, R5, +
()
1) Równanie płaszczyzny
o
x = 1, -1,0, 2,1 x = x1, x2, x3, x4, x5
() u = 2,3,1, -4,1 ( )
[]
v = -1,1, -2,3
[-1,
]
x1, x2, x3, x4, x5 = (1, -1,0, 2,1) + t 2,3,1, -4,1 +� -1,1, -2,3
() [ ] [-1,
]

�ł2,3,1, -4,1łł
lub zapis: u =
�ł�ł
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 4 z 5 Część 14 - Przestrzenie afiniczne
2) równanie podprzestrzeni 1 wymiarowej (prosta afiniczna)
o


x = 2,3,1, -1,5
() -1,1, -1,1, 2
v =
()


x1, x2, x3, x4, x5 = 2,3,1, -1,5 + t(-1,1, -1,1, 2)
() ( )
(równanie parametryczne prostej )
t "
x1 = 2 - t
x2 = 3 + t
x3 = 1- t
x4 =-1+ t
x5 = 5 + 2t
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 z 5 Część 14 - Przestrzenie afiniczne