3582323872

1} Algorytm Newtona-Raphsona

Do odnajdywania wartości pierwiastka kwadratowego z liczby a

Metoda ta polega na obliczaniu kolejnych przybliżeń pierwiastka danej liczby a. Przybliżenie (n-ł-l)-wsze otrzymujemy przez podstawienie przybliżenia n-tego do wzoru:

Wynika to z faktu, że jeśli nasze przybliżenie nie jest na tyle dokładne by nas zadowolić, to kolejne dokładniejsze bądzie na pewno gdzieś po środku pomiędzy liczbą

a

i liczbą — (dwa boki prostokąta o polu a, który nam powstał zamiast kwadratu,

^|i

poprzez niedokładne wytypowanie długości jego boku, muszą się coraz bardziej długościami zbliżać do siebie)

Jako pierwsze przybliżenie można przyjąć dowolną liczbę dodatnią Obliczenia kolejnych przybliżeń kończymy, gdy:

gdzie e - przyjęta dokładność obliczeń 2) Bisekcja

Metoda bisekcji (połowienia) jest jedną z najprostszych metod numerycznego rozwiązywania algebraicznych równań nieliniowych, czyli znajdowania przybliżonej wartości pierwiastka równania:

f(x)=0

O funkcji f(x) zakłada się, że jest ciągła na przedziale domkniętym <x_A; Xb>. wewnątrz którego znajduje się dokładnie jeden, wyizolowany pierwiastek i, na którego końcach wartości funkcji f(x) mają przeciwne znaki (czyli f(Xf)f(x^<0 ),

W metodzie bisekcji, aby znaleźć ten pierwiastek, dzielimy przedział <x^ x_b> na połowy punktem

x_c - (XA + Xb)/2

Jeżeli f(xc) = 0, to x_c jest szukanym pierwiastkiem, jeśli zaś f(xc) <> 0, to z otrzymanych dwóch przedziałów <x_A; x_c> oraz <x_c; x_B>, wybieramy do dalszej analizy ten, na końcach którego funkcja f(x) ma przeciwne znaki. To znaczy, jeśli f(xA)f(xc)<0 to wybieramy przedział <Xaj x_c>. zatem wartość x_c podstawiamy w miejsce x_B , w przeciwnym przypadku wartość x_c podstawiamy w miejsce x_A. Z kolei ten nowo wybrany przedział dzielimy na połowy wyznaczając nowy punkt x_c, ponownie badamy wartość funkcji f(x) w punkcie x_c i znaki funkcji f(x) na końcach przedziałów itd. W wyniku takiego postępowania po pewnej liczbie kroków albo otrzymany pierwiastek dokładny, tzn. dla pewnego n otrzymamy f(xC)=0. albo ciąg przedziałów takich że :    f(xⁱA)f(xⁱB)<0 . Punkty x‘_A oraz x‘_B są odpowiednio

początkiem i końcem przedziału w i-tej iteracji, a jego długość wynosi I*'* - x‘_B\=(x_B-Xa)/2‘. Ponieważ lewe końce ciągu przedziałów tworzą ciąg niemalejący i ograniczony z góry, a prawe końce ciąg nierosnący i ograniczony z dołu więc z powyższego