3582323878

1. Algorytm Newtona-Raphsona

Do odnajdywania wartości pierwiastka kwadratowego z liczby a Metoda ta polega na obliczaniu kolejnych przybliżeń pierwiastka danej liczby a. Przybliżenie (n+1) otrzymujemy przez podstawienie przybliżenia n-tego do wzoru:

1 .    a .

<_n+i =t(x„ + —)

2    x„

Wynika to z faktu, że jeśli nasze przybliżenie nie jest na tyle dokładne by nas zadowolić, to kolejne dokładniejsze będzie na pewno gdzieś po środku pomiędzy liczbą

a

x_n i liczbą — (dwa boki prostokąta o polu a, który nam powstał zamiast kwadratu,

poprzez niedokładne wytypowanie długości jego boku, muszą się coraz bardziej długościami zbliżać do siebie)

Jako pierwsze przybliżenie można przyjąć dowolną liczbę dodatnią Obliczenia kolejnych przybliżeń kończymy, gdy:

gdzie e - przyjęta dokładność obliczeń 1.1 Blsekcja

Metoda bisekcji (połowienia) jest jedną z najprostszych metod numerycznego rozwiązywania algebraicznych równań nieliniowych, czyli znajdowania przybliżonej wartości pierwiastka równania:

f(x)=0

O funkcji f(x) zakłada się, że jest ciągła na przedziale domkniętym <Xa; x_b>, wewnątrz którego znajduje się dokładnie jeden, wyizolowany pierwiastek i, na którego końcach wartości funkcji f(x) mają przeciwne znaki (czyli f(x^ffx&)<0 ).

W metodzie bisekcji, aby znaleźć ten pierwiastek, dzielimy przedział <Xa; x_b> na połowy punktem

x_c = (x_A + Xg)/2

Jeżeli f(xc) = 0, to x_c jest szukanym pierwiastkiem, jeśli zaś f(xc) <> 0, to z otrzymanych dwóch przedziałów <Xa; x_c> oraz <x_c; x_B>, wybieramy do dalszej analizy ten, na końcach którego funkcja f(x) ma przeciwne znaki. To znaczy, jeśli