3582326469

Przykład 5.15

Wyznaczyć szeregi Fouriera następujących funkcji:

a) /(z)

„2 J2

TT —X

x 6 {—7r,7r) b) f(x) = | sinx| x 6 {—tt, tt) . c) f(x) = sina:, z € {-

Przykład 5.16 Rozwinąć w szereg Fouriera następujące funkcje:

o) /(ar)

1 dla x E (-3.0) j\ _r/ \ i ^ / o n\ -1 dla 3)    *)/(*)“*-!. *«<-2.2)

Przykład 5.17

Korzystając z otrzymanych szeregów Fouriera dla funkcji f(x) = signa? i f(x) = k² — x² uzasadnić równość:

(-i)"¹ 2 n — 1

71=1

7T

4

n=1

(-if¹¹

ń²

tt'²

12

dla x 6 (0,1) dla x 6 (1,2)

Przykład 5.18 Rozwinąć w szereg według sinusów i kosinusów funkcje: a) f(x) = tt . ze (0. tt) b) /(.r) = sinx , z e {0, tt) <:•) /(?:) = i ^

6 Całki wielokrotne

6.1 Pojęcia geometryczne

Definicja 6.1 (przedział domknięty w 77ⁿ)

Przedziałem domkniętym w 77" nazywamy zbiór

P =< a-i, b\ > x < a_2: b₂ > x ... x < a_n. b_n >

gdzie (V/,: = 1.2....,?/)    € 77 oraz > a*.

Je<śl* dla pewnego k, a* = 6* , to przedział nazywamy zdegenerowanym. Przyjmujemy, że objętością (miarą) przedziału domkniętego jest liczba:

m(P) = []    ~ ^ak)

k 1

Wniosek 6.1 Miara przedziału zdc,generowanego jest równa zero.

Definicja 6.2 (Kuła w przestrzeni 77")

Kulą o środku w punkcie ?;₀ i promieniu p nazywamy zbiór:

K(?:, p) = {x £ 77" : d(x,xo) < p}

gdzie d(x. Xq) jest metryką euklidesową w przestrzeni 77" .

Definicja 6.3 Punkt xq € 77" jest punktem, wewnętrznym zbioru A C 77" wtedy i tylko wtedy, gdy

(3r > Ił): K{x₀, r) C A

Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A oznaczamy int-A i nazywamy wnętrzem lego zbioru.

26