3582333950

Wyznaczanie: metodą schodkową (rząd macierzy jest równy liczbie jej niezerowych wierszy), sprowadzanie macierzy do postaci kanonicznej za pomocą przekształceń elementarnych.

10. Układ równań liniowych, macierz rozszerzona (dołączona) układu.

Układem m równań liniowych o n niewiadomych xi, x*.....Xn nazywamy układ równań o postaci:

a„x,+a_nx_t + -+a,.^x.=b, a,, a;, + ciyyXy + • • • + a-,_nx„ = by

“ ‘ .    ‘    gdzie aj, b,, i = 1,2,... ,m j = 1,2.....n są dowolnymi liczbami.

«_mxXx+<*_mzX₂ + - + a_mnx_n=b_m

Macierzą rozszerzoną nazywamy macierz blokową A* = (A I Bl. tzn. macierz:

	"l.	Ol 2 •		V
/T =		°22 '	• °2n	by
		^am2 •		-1

11. Jednorodny układ równań liniowych, wyznaczenie jego rozwiązań.

Układ jednorodny to układ o postaci:

ma rozwiązanie zerowe xi =

^*||-*| ^+fl12*2 ^{+ =0} (ly + dyy X, + • • • + CI₂*X„ = 0

«n.rt ⁺ «.2^+-+a^ =°

X2 = ... = Xn = 0

Metodą wyznaczania rozwiązania jest twierdzenie Kroneckera-Capellego. dla rzędu macierzy. Dla układu jednorodnego: R(A) = R(A*) taki układ ma co najmniej 1 rozwiązanie, przy czym dokładnie jedno rozwiązanie, i to zerowe, gdy R(A) = n. Układ n równań liniowych jednorodnych o n niewiadomych ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy gdy detA = 0

12.    Klasyfikacja układów równań liniowych ze względu na liczbę rozwiązań.

•    zbiór pusty. Układ taki nazywamy układem sprzecznym

•    dokładnie 1 rozwiązanie. Układ taki nazywamy układem oznaczonym

•    nieskończenie wiele rozwiązań. Układ taki nazywamy układem nieoznaczonym Układ równań, który posiada rozwiązanie, nazywamy układem zgodnym.

13.    Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy układu A jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej A^- =[A | B],

R(A)=R(A’)=r    n liczba niewiadomych

1.    r=n ■> 1 rozwiązanie

2.    r<n •> nieskończenie wiele rozwiązań

3.    r>n •> brak rozwiązań

14.    Metoda eliminacji Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych.

Metoda eliminacji Gaussa - metoda rozwiązywania układu równań liniowych polegająca na sprowadzeniu go do równoważnego układu zredukowanego.

Układem zredukowanym nazywamy układ równań liniowych, którego macierz współczynników' ma postać kanoniczną (bazową).

Za pomocą operacji elementarnych i korzystając z przemienności dodawania można dowolny niesprzeczny układ równań liniowych sprowadzić do postaci zredukowanej.

Operacje elementarne na układach rów'nań liniowych (na wierszach):

1.    przestawienie dowolnych dw-óch równań.

2.    pomnożenie obu stron równania przez dowolną liczbę różną od zera,

3.    dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania.

4.    wykreślenie równania postaci 0=0. które może być wynikiem wcześniejszych przekształceń elementarnych.