2766503205

Zadanie dotyczy problemu konsumenta. Formalnie możemy napisać

max {9xi + 10x₂ }

2x\ + x₂ = 8

Xi > 0, X₂ > 0

Żeby rozwiązać problem wykorzystamy funkcję Lagrange’a

L(x, A) = 9x² + 10x₂ — A(2xi + X2 — 8). Wyliczamy pochodne cząstkowe

dL

dx\

OL

8x2

dL

d\

= ^r^ł-2A

= 5x₂ ² — A —    -(2xi + x₂ - 8)

oraz przyrównujemy je do zera. Rozwiązujemy tak powstały układ równań

I^xi^ł-2A	= 0
5x2 ^5 — A	= 0
2xi + x2 - 8	= 0

Wyliczamy A z pierwszego równania i podstawienia do drugiego

4^X1

4^X1

8

A

5x₂ ⁵

2xi + x₂

Po uproszczeniu mamy

^— 81 = 8

9_r~

4^X1

Xl

Podstawiamy x₂ do trzeciego równania i wyliczamy z niego Xi

2_x~t

4^X1 81 ^X1 8

A

x₂

2xi + ^pxi

Ostatecznie dostajemy

Xi =

x₂ -

324

281

Pozostaje sprawdzić czy wyznacznik hesjanu obrzeżonego jest dodatni

\H\ =

a^2L	a^2 l	a^2L
Sa^5"	d\dx\	d\dx2
a^2h	o^2l	a^2L
dx\d\	dx*	dx\dx2
a^2 l	a^2L	a^2L
dx2dxi	dx\dx2	dx%

W naszym przypadku mamy

\H\ =

0	-2	-1
-2 -!^xi^§		0
-1	0	_5r- 2^x2

>0.

Koszyk optymalny składa się z Xi = §§f jednostek dobra pierwszego oraz x₂ = jednostek dobra drugiego.