3226794633

2.    STRUKTURA ALGEBRAICZNA (STRUKTURA)

Def. 1. Zbiór złożony ze skończonej liczby zbiorów i odwzorowań (działań) iloczynów kartezjańskich par tych zbiorów w te zbiory.

Def. 2. System (A. hu • ••. h„) złozony ze zbioru A i pewnych działań hi.....h_n określonych w tym

zbiorze (czyli Junkcje skończenie argumentowe o wartościach należących do A ).

Własności działań (np. przemienność, łączfiość, istnienie elementu neutralnego) i związki między działaniami (np. prawa rozdzielczości) określają typy struktur algebraicznych. Określenie każdego z typów struktury polega na podaniu aksjomatów określających własności działań hu ..., h_n w określonym zbiorze A.

Podstawowe struktury algebraiczne: grupa, pierścień, ciało, przestrzeń wektorowa (liniowa). Badaniem różnych typów struktur algebraicznych zajmuje się algebra (algebra uniwersalna).

3.    GRUPA

Grupoid - struktura złożona z niepustego zbioru i działania dwuargumentowego na nim określonego, np.: (G.O) - grupoid złożony ze zbioru G, w którym jest określone działanie dwuargumentowe 0

(zbiór domknięty ze względu na 0), co zapisujemy: (0 : G xG —* G) <=> (0 : /\ a 0 b e G).

a.be G

GRUPA - struktura algebraiczna (G.O) spełniająca poniższe 4 aksjomaty:

(1)    O kreśl on ość działania (warunek wewnętrznościy.    /\ (a Ob) € (i

a,be G

(2)    Łączność działania (warunek łączności):    /\    (a 0 h) 0 c = a 0 (b 0 c)

a,b,ce G

np.:    (2-3)-4 = 2-(3 • 4):    (2+3) + 4 = 2 +(3 + 4)

Warunek łączności pozwala pomijać nawiasy w wyrażeniach postaci aObOc z zachowaniem wyniku.

(3)    Istnienie jedynego elementu neutralnego e:    V A e 0 a = a 0 e = a

e e G a e G

np.:    1-2 = 2 -1 = 2    => e=l; 0+2=2+0=2    => e = 0

Jcdyność elementu neutralnego: gdyby e. e' były elementami neutralnymi, to:c0e' = e0e'=e => e = e\

(4)    Istnienie elementu symetrycznego a dla każdego a:    V a 0 d = d O a = e

aeG aeO

np.:    1/2 -2 = 2 -1/2= 1 = e    => s(2) = 1/2 => a = a ¹ - element odwrotny (symetryczny) mnożenia

i-2) + 2 = 2 + (-2) = 0 = e => s(2) = (-2) a = - a- element przeciwny (symetryczny) dodawania

Własności: s(a) = a =a ^lm, (a^-1 )^-1 = o; równania w grupie: a0x = b => x = dO b: ,r0a =h => x=b0d. Element symetryczny (odwrotny w grupie) w grupie abeIowęj nazywany elementem przeciwnym.

Półgrupa - spełnia aksjomaty (1) i (2). Półgrupa z jedynką (jednością) - spełnia aksjomaty (l)-r(3). Aksjomaty nr (1), (2), (3) i (4) nazywamy aksjomatami teorii grupy.

Uwagi

•    Czasem grupę G postaci (G, *) opisujemy jako (G. *, e) aby wyróżnić element neutralny e.

•    Działanie w grupie często nazywamy ..mnożeniem" lub „dodawaniem" (dodawaniem raczej w odniesieniu do arun abelowych, gdzie element odwrotny nazywamy elementem przeciwnym).

•    /\ (ab) ¹ = (b ¹ a ¹) bo (ab)(b ^la ¹) = ((ab )b ¹ )a ¹ = (a(bb ^l))a ¹ = aa ¹ = e

a,b e G

^B-    G..^r..MP a.. a b.el.9 w a..(P.rze.mienna)

(irupa abelowa - spełnia aksjomaty teorii grupy: (1). (2), (3). (4) oraz poniższy warunek (5).

(5) Przemienność działania (warunek prz.emienności):    A a 0 b = b O a

aj)e G

np.:    32=2-3;    3 + 2 =2 + 3

© Copyright by Ewa Kędziorezyk

-224-

w w w. ma tematyka. sosu o wiee.p l